Seja V=M2(R) e beta=(ll1 & 0 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 1),(ll0 & 1 0 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) em relação à base beta.

Passo 1

O enunciado pede para expressar cada matriz da base canônica
beta'=E11,E12,E21,E22 em coordenadas na base
beta=B1,B2,B3,B4, onde
B1=1&01&0,; B2=1&10&0,; B3=1&00&1,; B4=0&10&1
O conteúdo é mudança de base em M2(R) e precisaremos montar e resolver sistemas lineares para cada vetor de beta'.

Passo 2

Sejam (c1,c2,c3,c4) as coordenadas de uma matriz genérica M em relação a beta. Então
M=c1B1+c2B2+c3B3+c4B4 = c1+c2+c3 & c2+c4 c1 & c3+c4
Assim, se M=(a11,a12;a21,a22), temos as relações:
a11=c1+c2+c3, a12=c2+c4, a21=c1, a22=c3+c4

Passo 3

Para cada Eij da base canônica definimos a11,a12,a21,a22 de acordo com
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1,
e resolvemos o sistema acima em cada caso para (c1,c2,c3,c4).

Passo 4

Para
Para ):

Passo 5

Para
Para ):

Resposta

Coordenadas em relação a beta:
[E11]beta=(0,tfrac12,tfrac12,-tfrac12), [E12]beta=(0,tfrac12,-tfrac12,tfrac12),
[E21]beta=(1,-tfrac12,-tfrac12,tfrac12), [E22]beta=(0,-tfrac12,tfrac12,tfrac12)

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