Seja V=R^4, considere os conjuntos
W1=(x, y, z, w) in R^4: y=z
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: x=w=0 e y=-z
Determine uma base para cada um desses subespaços.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bases de dois subespaços de V=R^4. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: identificar equações lineares que definem cada subespaço, parametrizar o vetor geral e extrair um conjunto de vetores geradores linearmente independentes (base).

Passo 2

Para W1=(x,y,z,w)inR^4:y=z, a condição é
y - z = 0
Temos três graus de liberdade, por exemplo podemos tomar como parâmetros x, t=y=z e w. Assim todo vetor de W1 escreve-se
(x,y,z,w) = (x,t,t,w) = x,(1,0,0,0) ;+; t,(0,1,1,0);+; w,(0,0,0,1)
Os vetores
(1,0,0,0), (0,1,1,0), (0,0,0,1)
são linearmente independentes e geram W1. Portanto formam uma base de W1.

Passo 3

Para W2=(x,y,z,w)inR^4:x = w = 0 e y=-z, as condições são
x=0, w=0, y+z=0
Resta apenas um parâmetro livre, digamos t=z. Então
(0,y,z,0) = (0,-t,t,0) = t,(0,-1,1,0)
O único vetor não nulo (0,-1,1,0) gera W2 e é linearmente independente. Logo é base de W2.

Resposta

Base de W1:
(1,0,0,0),,(0,1,1,0),,(0,0,0,1)
Base de W2:
(0,-1,1,0)

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