Sejam P1 e P2 dois planos no R^3 passando pela origem (isto é, dois subespaços de dimensão 2). Determine dim(P1 cap P2) quando
P1+P2=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois planos, P1 e P2 , no espaço tridimensional R^3 , que passam pela origem. O que a gente quer descobrir é a dimensão da interseção desses dois planos, ou seja, dim(P1 cap P2) , sabendo que a soma deles é todo o espaço R^3 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em R^3 , um plano é um subespaço de dimensão 2. Portanto, tanto P1 quanto P2 têm dimensão 2:
dim(P1) = dim(P2) = 2

Passo 3

Agora, sabemos que a soma de dois subespaços, P1 + P2 , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de P1 e um vetor de P2 . A dimensão dessa soma segue a seguinte fórmula:
dim(P1 + P2) + dim(P1 cap P2) = dim(P1) + dim(P2)
Essa é a chamada fórmula da dimensão da soma de subespaços.

Passo 4

Sabendo que P1 + P2 = R^3 , temos:
dim(P1 + P2) = dim(R^3) = 3
Agora, substituindo os valores na fórmula da dimensão:
3 + dim(P1 cap P2) = 2 + 2

Passo 5

Resolvendo a equação para encontrar dim(P1 cap P2) :
3 + dim(P1 cap P2) = 4
dim(P1 cap P2) = 4 - 3
dim(P1 cap P2) = 1

Resposta

A dimensão da interseção P1 cap P2 é igual a 1.

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