Sejam
e
dois planos no
passando pela origem (isto é, dois subespaços de dimensão 2). Determine
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois planos,
e
, no espaço tridimensional
, que passam pela origem. O que a gente quer descobrir é a dimensão da interseção desses dois planos, ou seja,
, sabendo que a soma deles é todo o espaço
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em
, um plano é um subespaço de dimensão 2. Portanto, tanto
quanto
têm dimensão 2:
Passo 3
Agora, sabemos que a soma de dois subespaços,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. A dimensão dessa soma segue a seguinte fórmula:
Essa é a chamada fórmula da dimensão da soma de subespaços.
Passo 4
Sabendo que
, temos:
Agora, substituindo os valores na fórmula da dimensão:
Passo 5
Resolvendo a equação para encontrar
:
Resposta
A dimensão da interseção
é igual a 1.