Sejam
e
dois planos no
passando pela origem (isto é, dois subespaços de dimensão 2). Determine
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois planos,
e
, que passam pela origem no espaço tridimensional (
). O que queremos descobrir é a dimensão da intersecção desses dois planos, ou seja,
, sabendo que a soma desses planos não dá todo o espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, dimensão, e como a dimensão da soma de subespaços se relaciona com a dimensão da intersecção deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante na álgebra linear que relaciona as dimensões de dois subespaços e a dimensão da sua intersecção:
Aqui,
representa a soma dos subespaços, que consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Passo 3
Sabemos que
e
são planos em
, então cada um tem dimensão 2:
A questão também nos diz que
. Como
tem dimensão 3, isso significa que
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula que mencionamos:
Sabemos que
, então:
Como a dimensão da intersecção não pode ser maior que a dimensão dos próprios planos, temos que:
Isso significa que os dois planos são, na verdade, o mesmo plano.
Resposta
A dimensão de
é igual a 2.