Sejam P1 e P2 dois planos no R^3 passando pela origem (isto é, dois subespaços de dimensão 2). Determine dim(P1 cap P2) quando
P1+P2 neq R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois planos, P1 e P2 , que passam pela origem no espaço tridimensional ( R^3 ). O que queremos descobrir é a dimensão da intersecção desses dois planos, ou seja, dim(P1 cap P2) , sabendo que a soma desses planos não dá todo o espaço R^3 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, dimensão, e como a dimensão da soma de subespaços se relaciona com a dimensão da intersecção deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante na álgebra linear que relaciona as dimensões de dois subespaços e a dimensão da sua intersecção:
dim(P1 + P2) = dim(P1) + dim(P2) - dim(P1 cap P2)
Aqui, P1 + P2 representa a soma dos subespaços, que consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de P1 e um vetor de P2 .

Passo 3

Sabemos que P1 e P2 são planos em R^3 , então cada um tem dimensão 2:
dim(P1) = 2 e dim(P2) = 2
A questão também nos diz que P1 + P2 neq R^3 . Como R^3 tem dimensão 3, isso significa que dim(P1 + P2) < 3 .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula que mencionamos:
dim(P1 + P2) = 2 + 2 - dim(P1 cap P2) = 4 - dim(P1 cap P2)
Sabemos que dim(P1 + P2) < 3 , então:
4 - dim(P1 cap P2) < 3 implies dim(P1 cap P2) > 1
Como a dimensão da intersecção não pode ser maior que a dimensão dos próprios planos, temos que:
dim(P1 cap P2) = 2
Isso significa que os dois planos são, na verdade, o mesmo plano.

Resposta

A dimensão de P1 cap P2 é igual a 2.

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