Sejam V um espaço Euclidiano e T: V V uma função sobrejetora tal que lang<= T(u), T(v)rang<==lang<= u, vrang<=, para todos u, v in V. Mostre que T é injetora e linear, ou seja, T é uma isometria.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço Euclidiano e que Tcolon Vto V é sobrejetora e satisfaz
lang<= T(u),T(v)rang<= = lang<= u,vrang<=
para todo u,vin V. Queremos mostrar que T é injetora e linear, ou seja, que é uma isometria.

Passo 2

Para provar que T é injetora, basta ver que ker T=0. Se T(u)=0, então para todo vin V vale
lang<= u,vrang<= =lang<= T(u),T(v)rang<= =lang<= 0,,T(v)rang<= =0
Como em um espaço Euclidiano o único vetor ortogonal a todo v é o vetor zero, concluímos u=0. Logo ker T=0 e T é injetora.

Passo 3

Para mostrar que T é aditiva, consideremos três vetores arbitrários u,v,win V. Usando a conservação do produto escalar:
lang<= T(u+v) - T(u) - T(v),,T(w)rang<= =lang<= u+v,,wrang<= -lang<= u,,wrang<= -lang<= v,,wrang<= =0
Como T é sobrejetora, T(w) percorre todo V. Então um vetor que seja ortogonal a todos os T(w) deve ser zero. Portanto
T(u+v) - T(u) - T(v) = 0 Longrightarrow T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 4

Para homogeneidade em escalares, seja lambdainR e u,vin V. Novamente,
lang<= T(lambda u) - lambda,T(u),,T(v)rang<= =lang<= lambda u,,vrang<= -lambda,lang<= u,vrang<= =0
Pelo mesmo argumento de sobrejetividade, isso implica
T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 5

Dos Passos 3 e 4 segue que T é linear e, do Passo 2, que T é injetora. Como já sabíamos que ela preserva o produto escalar, concluímos que T é de fato uma isometria.

Resposta

T é injetora e linear, portanto uma isometria.

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