Sejam
um espaço Euclidiano e
uma função sobrejetora tal que
, para todos
. Mostre que
é injetora e linear, ou seja, T é uma isometria.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço Euclidiano e que
é sobrejetora e satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que
é injetora e linear, ou seja, que é uma isometria.
Passo 2
Para provar que
é injetora, basta ver que
. Se
, então para todo
vale
Como em um espaço Euclidiano o único vetor ortogonal a todo
é o vetor zero, concluímos
. Logo
e
é injetora.
Passo 3
Para mostrar que
é aditiva, consideremos três vetores arbitrários
. Usando a conservação do produto escalar:
Como
é sobrejetora,
percorre todo
. Então um vetor que seja ortogonal a todos os
deve ser zero. Portanto
Passo 4
Para homogeneidade em escalares, seja
e
. Novamente,
Pelo mesmo argumento de sobrejetividade, isso implica
Passo 5
Dos Passos 3 e 4 segue que
é linear e, do Passo 2, que
é injetora. Como já sabíamos que ela preserva o produto escalar, concluímos que
é de fato uma isometria.