Seja E=e1, e2 uma base de V^2. Mostre que F=f1, f2, em que f1=e1+e2, f2=e1 é também uma base e encontre as coordenadas do vetor u=-3 e1+e2 em relação às bases E e F.

Passo 1

O enunciado trabalha com o conceito de base em um espaço vetorial de dimensão 2 e pede duas coisas: (1) mostrar que F=vec f1,vec f2 também gera V^2 e é linearmente independente, e (2) achar as coordenadas de vec u=-3vec e1+vec e2 nas bases E e F. Vamos usar a caracterização de base via independência linear (determinante não nulo) e depois resolver sistemas lineares para obter as coordenadas.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas pela base E, temos
vec f1=(1,1), vec f2=(1,0)
O determinante da matriz cujas colunas são vec f1 e vec f2 é
det1 & 11 & 0 =1cdot0-1cdot1=-1neq0
Como o determinante é não nulo, vec f1,vec f2 é independente e, por terem dois vetores em dimensão 2, é base.

Passo 3

Já nas coordenadas da própria base o vetor é dado diretamente pelos coeficientes de e , ou seja

Passo 4

Para achar
Comparando componentes dá o sistema
logo . Portanto

Resposta


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