Seja
uma base de
. Mostre que
, em que
é também uma base e encontre as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
.
Passo 1
O enunciado trabalha com o conceito de base em um espaço vetorial de dimensão 2 e pede duas coisas: (1) mostrar que
também gera
e é linearmente independente, e (2) achar as coordenadas de
nas bases
e
. Vamos usar a caracterização de base via independência linear (determinante não nulo) e depois resolver sistemas lineares para obter as coordenadas.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas pela base
, temos
O determinante da matriz cujas colunas são
e
é
Como o determinante é não nulo,
é independente e, por terem dois vetores em dimensão 2, é base.
Passo 3
Já nas coordenadas da própria base
o vetor
é dado diretamente pelos coeficientes de
e
, ou seja
Passo 4
Para achar
Comparando componentes dá o sistema
logo . Portanto