Suponha que o ângulo entre os vetores u e v seja 60^circ. Determine o ângulo formado pelos vetores -u e 2 v e pelos vetores -u e -v.

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo entre u e v vale 60^circ. Queremos achar
  1. o ângulo entre -u e 2v,
  2. o ângulo entre -u e -v.
    Vamos usar a definição de produto escalar e a relação
costheta = acdotb|a||b|

Passo 2

Para -u e 2v calculamos o produto escalar:
(-u)cdot(2v) = -2;(ucdotv)
As normas são |-u|=|u| e |2v|=2|v|. Logo
costheta1 = -2,(ucdotv)|u|,(2|v|) = -,ucdotv|u||v| = -cos60^circ = -tfrac12
Isto implica theta1 = 120^circ.

Passo 3

Para -u e -v, o produto escalar é
(-u)cdot(-v) = ucdotv,
e as normas não mudam. Então
costheta2 = ucdotv|u||v| = cos60^circ = tfrac12,
daí theta2 = 60^circ.

Resposta

O ângulo entre -u e 2v é 120^circ e o ângulo entre -u e -v é 60^circ.

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