Seja E=(e1, e2, e3) uma base negativa de V^3 satisfazendo as seguintes condições:
  • |e1|=|e2|=2 e |e3|=1 ;
  • e3 é ortogonal a e1 e a e2;
  • o ângulo entre e1 e e2 mede pi6.
    Assinale a alternativa que apresenta o vetor (e1+2 e2) wed>=(2 e1-3 e2).
    (a) 5 e3 ;
    (b) -10 e3;
    (c) -5 e3;
    (d) 14 e3;
    (e) 18 e3.

Passo 1

O enunciado dá uma base negativa E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) de V^3 com |overrightarrow e1|=|overrightarrow e2|=2, |overrightarrow e3|=1, overrightarrow e3perpoverrightarrow e1,overrightarrow e2 e o ângulo entre overrightarrow e1 e overrightarrow e2 igual a pi/6. Queremos calcular o produto vetorial l(overrightarrow e1+2overrightarrow e2r)wed>=l(2overrightarrow e1-3overrightarrow e2r).

Passo 2

Primeiro, achamos overrightarrow e1wed>=overrightarrow e2. O módulo vale
|overrightarrow e1|;|overrightarrow e2|;sin!l(tfracpi6r) =2cdot2cdottfrac12=2,
e a direção deve satisfazer que (overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e1wed>=overrightarrow e2) seja base positiva. Mas como (overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) é negativa, temos
overrightarrow e1wed>=overrightarrow e2=-2,overrightarrow e3

Passo 3

Pela bilinearidade e antissimetria do produto vetorial,
(aoverrightarrow e1+boverrightarrow e2)wed>=(coverrightarrow e1+doverrightarrow e2) =(ad-bc),(overrightarrow e1wed>=overrightarrow e2)

Passo 4

No nosso caso a=1, b=2, c=2, d=-3. Logo
ad-bc = 1cdot(-3)-2cdot2 = -3-4 = -7
e
(overrightarrow e1+2overrightarrow e2)wed>=(2overrightarrow e1-3overrightarrow e2) =-7,(overrightarrow e1wed>=overrightarrow e2) =-7l(-2overrightarrow e3r) =14,overrightarrow e3

Resposta

(d) 14overrightarrow e3

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