Seja a um número real e considere os vetores u e v que satisfazem [u]B=(1, a,-2) e [v]B=(0,2,3). Se a soma das coordenadas na base B do vetor u wed>= v é igual a 6, então a é igual a:
(a) 1 ;
(b) 2 ;
(c) -5 ;
(d) -3 ;
(e) -4 .

Passo 1

O enunciado dá dois vetores vec u e vec v em R^3 cujas coordenadas na base B são
[vec u]B = (1,;a,;-2), [vec v]B = (0,;2,;3)
Ele pede o valor de a tal que a soma das três coordenadas de vec uwed>= vec v, calculada também na base B, seja igual a 6. O conteúdo necessário é a fórmula do produto vetorial em coordenadas.

Passo 2

Em uma base ortonormal e orientada B, as coordenadas de vec uwed>= vec v são dadas pelo produto vetorial das coordenadas de vec u e vec v. Assim
[vec uwed>= vec v]B = [vec u]B times [vec v]B

Passo 3

Aplicando a definição do produto vetorial
[u]B times [v]B = i & j & k [6pt] 1 & a & -2 [4pt] 0 & 2 & 3 = l(3a - (-4),,-(3-0),,2-0r) = (3a+4,,-3,;2) ]

Passo 4

A soma das coordenadas desse vetor é
(3a+4)+(-3)+2 = 3a + 3
Como essa soma deve valer 6, temos
3a + 3 = 6 ;Longrightarrow; 3a = 3 ;Longrightarrow; a = 1

Resposta

a = 1 (alternativa (a)).

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