Sejam E uma base ortonormal de V^3 e A, B, C pontos de E^3 tais que [A B]E=(1,0,1) e [C B]E=(0,1,2).
Determine a projeção ortogonal do vetor A B na direção do vetor B C.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V^3 com base ortonormal E e três pontos A,B,C em E^3. As coordenadas no sistema E são
,[AB]E=(1,0,1) e [CB]E=(0,1,2).
Queremos a projeção ortogonal de AB na direção de BC.
Para isso vamos usar o produto escalar padrão em R^3 e a fórmula
projv(u) =lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v

Passo 2

Chamemos
u=AB=(1,0,1) e w=CB=(0,1,2)
Como precisamos de BC, note que
BC=C - B = -,CB = (0,-1,-2)
Definimos então
v=BC=(0,-1,-2)

Passo 3

Calculamos os produtos escalares necessários:
lang<= u,vrang<= =(1)cdot 0 + (0)cdot(-1) + (1)cdot(-2) =-2,
lang<= v,vrang<= =0^2 + (-1)^2 + (-2)^2 =1 + 4 =5

Passo 4

Aplicando a fórmula da projeção ortogonal de u sobre v:
projv(u) =lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v =-25,(0,-1,-2) =(0,tfrac25,tfrac45)

Resposta

A projeção ortogonal de AB na direção de BC é
(0,tfrac25,tfrac45)

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