Seja E uma base ortonormal de V^3 e considere v e w vetores satisfazendo [v]E=(1,-1,0) e [w]E=(1,1,0). Determine as possíveis coordenadas do vetor u na base E, sabendo que |u|=raiz2, u e w são ortogonais e que o ângulo entre os vetores u e v mede 45^0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial tridimensional, V^3 , com uma base ortonormal E . Isso significa que os vetores dessa base são todos de comprimento 1 e são perpendiculares entre si.
Dado isso, temos dois vetores, v e w , com suas coordenadas na base E :
[v]E = (1, -1, 0) e [w]E = (1, 1, 0)
Precisamos encontrar as possíveis coordenadas de um terceiro vetor, u , que satisfaz três condições:
  1. O comprimento de u é raiz2 .
  2. u é ortogonal a w .
  3. O ângulo entre u e v é de 45^circ .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como norma (comprimento do vetor), produto escalar (para verificar ortogonalidade e ângulos entre vetores), e a representação das coordenadas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u na base E . Seja:
[u]E = (x, y, z)
Queremos determinar os valores de x , y e z .

Passo 3

A primeira condição é que a norma de u seja raiz2 . A norma de um vetor (x, y, z) é dada por:
|u| = raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz2
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar a equação:
x^2 + y^2 + z^2 = 2 (Equação 1) çã

Passo 4

A segunda condição é que u seja ortogonal a w . Dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. O produto escalar de u e w é:
u cdot w = x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 0
Portanto:
x + y = 0 (Equação 2) çã

Passo 5

A terceira condição envolve o ângulo entre u e v , que é de 45^circ . A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Sabemos que:
[v]E = (1, -1, 0) então |v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 ã
E theta = 45^circ , então cos(45^circ) = raiz22 .
Substituindo na fórmula:
u cdot v = raiz2 cdot raiz2 cdot raiz22 = 2 cdot raiz22 = raiz2
Calculando o produto escalar:
u cdot v = x cdot 1 + y cdot (-1) + z cdot 0 = x - y = raiz2
Portanto:
x - y = raiz2 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
x^2 + y^2 + z^2 = 2 (Equação 1) x + y = 0 (Equação 2) x - y = raiz2 (Equação 3) çãçãçã
Primeiro, da Equação 2, podemos expressar y em termos de x :
y = -x
Substituindo y = -x na Equação 3:
x - (-x) = raiz2 Rightarrow 2x = raiz2 Rightarrow x = raiz22
Então, y = -raiz22 .

Passo 7

Agora, substituímos x e y na Equação 1 para encontrar z :
(raiz22)^2 + (-raiz22)^2 + z^2 = 2
Calculando:
24 + 24 + z^2 = 2 Rightarrow 44 + z^2 = 2 Rightarrow 1 + z^2 = 2 Rightarrow z^2 = 1
Portanto, z = pm 1 .

Passo 8

Com isso, temos duas possíveis coordenadas para u :
[u]E = (raiz22, -raiz22, 1) ou (raiz22, -raiz22, -1)

Resposta

As possíveis coordenadas do vetor u na base E são:
(raiz22, -raiz22, 1) e (raiz22, -raiz22, -1)

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