Seja uma base ortonormal de e considere e vetores satisfazendo e . Determine as possíveis coordenadas do vetor na base , sabendo que e são ortogonais e que o ângulo entre os vetores mede .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial tridimensional, , com uma base ortonormal . Isso significa que os vetores dessa base são todos de comprimento 1 e são perpendiculares entre si.
Dado isso, temos dois vetores, e , com suas coordenadas na base :
Precisamos encontrar as possíveis coordenadas de um terceiro vetor, , que satisfaz três condições:
O comprimento de é .
é ortogonal a .
O ângulo entre e é de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como norma (comprimento do vetor), produto escalar (para verificar ortogonalidade e ângulos entre vetores), e a representação das coordenadas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar na base . Seja:
Queremos determinar os valores de , e .
Passo 3
A primeira condição é que a norma de seja . A norma de um vetor é dada por:
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar a equação:
Passo 4
A segunda condição é que seja ortogonal a . Dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. O produto escalar de e é:
Portanto:
Passo 5
A terceira condição envolve o ângulo entre e , que é de . A relação entre o produto escalar e o ângulo é dada por:
Sabemos que:
E , então .
Substituindo na fórmula:
Calculando o produto escalar:
Portanto:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Primeiro, da Equação 2, podemos expressar y em termos de x :
y = -x
Substituindo y = -x na Equação 3:
x - (-x) = raiz2 Rightarrow 2x = raiz2 Rightarrow x = raiz22
Então, y = -raiz22 .
Passo 7
Agora, substituímos x e y na Equação 1 para encontrar z :