Seja E=(e1, e2, e3) uma base ortonormal de V^3. Encontre a medida em radianos do ângulo formado pelos vetores u e v, nos seguintes casos:
u=(-1,1,1)E, v=e1+e2+e3;

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em uma base ortonormal de R^3:
u=(-1,1,1)E e v=e1+e2+e3.
Queremos o ângulo theta entre eles, e para isso vamos usar a fórmula do produto escalar em bases ortonormais:
ucdotv=|u|;|v|;costheta

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdotv. Como a base é ortonormal, basta multiplicar coordenada a coordenada:
ucdotv =(-1)cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1 =-1+1+1 =1

Passo 3

Calcular as normas de u e v:
|u| =raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 =raiz3,
|v| =raiz1^2 + 1^2 + 1^2 =raiz3

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta =ucdotv|u|;|v| =1raiz3,raiz3 =13
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theta = arccos!l(tfrac13r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac13r) radianos.

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