Seja uma base ortonormal obtida a partir de através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Mostre que .
Passo 1
O enunciado trata do processo de Gram–Schmidt aplicado a uma base arbitrária de um espaço euclidiano , produzindo uma base ortonormal . Foi definido o conjunto como o conjunto de todas as bases cuja matriz de mudança de base de para é triangular superior com entradas da diagonal estritamente positivas.
Queremos mostrar que a base ortonormal construída por Gram–Schmidt satisfaz essa propriedade, ou seja, .
Passo 2
Relembremos o esquema de Gram–Schmidt e observe a estrutura triangular das combinações lineares. Definimos
e para
Note que cada é combinação linear de :
onde . Em particular, o coeficiente de em é .
Passo 3
Dividindo por , obtemos
Isto mostra que, em coordenadas relativas à base E, cada vetor fk só tem componentes nas posições 1,2,dots,k, e o coeficiente na posição k é positivo. Logo a matriz de mudança de base de E para F é triangular superior com todas as entradas da diagonal principais estritamente positivas.
Resposta
Como a matriz de mudança de base de E para F é triangular superior com diagonal positiva, concluímos que FinA.