Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Mostre que F in A.

Passo 1

O enunciado trata do processo de Gram–Schmidt aplicado a uma base arbitrária
,E=(e1,dots,en), de um espaço euclidiano V, produzindo uma base ortonormal
,F=(f1,dots,fn),. Foi definido o conjunto
A como o conjunto de todas as bases B=(b1,dots,bn) cuja matriz de mudança de base de E para B é triangular superior com entradas da diagonal estritamente positivas.
Queremos mostrar que a base ortonormal F construída por Gram–Schmidt satisfaz essa propriedade, ou seja, FinA.

Passo 2

Relembremos o esquema de Gram–Schmidt e observe a estrutura triangular das combinações lineares. Definimos
m1 = e1, f1 = m1|m1|,
e para k=2,dots,n
mk = ek - sumj=1^k-1lang<= ek,fjrang<=,fj, fk = mk|mk|
Note que cada mk é combinação linear de e1,dots,ek:
mk = ek - sumj=1^k-1lang<= ek,fjrang<=,fj = sumi=1^k-1ci,k,ei ;+;1cdot ek,
onde ci,kinR. Em particular, o coeficiente de ek em mk é 1>0.

Passo 3

Dividindo por |mk|, obtemos
fk = mk|mk| = sumi=1^k-1ci,k|mk|,ei ;+;underbrace1|mk|>0,ek
Isto mostra que, em coordenadas relativas à base E, cada vetor fk só tem componentes nas posições 1,2,dots,k, e o coeficiente na posição k é positivo. Logo a matriz de mudança de base de E para F é triangular superior com todas as entradas da diagonal principais estritamente positivas.

Resposta

Como a matriz de mudança de base de E para F é triangular superior com diagonal positiva, concluímos que FinA.

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