Suponha que e são bases com a mesma orientação. Mostre que, se então existe tal que . Conclua que se .
Passo 1
O enunciado diz que
E=(vec e1,vec e2,vec e3) e F=(vec e1,vec e2,vec u) são bases de R^3 com a mesma orientação.
Sabemos que vec e3 é paralelo a vec u.
O conteúdo utilizado será a definição de vetores paralelos e a relação entre orientação e determinante de uma base. Vamos mostrar primeiro que vec u é múltiplo de vec e3 e depois usar a orientação para concluir que esse múltiplo é positivo. Finalmente, se os vetores têm o mesmo comprimento, veremos que o múltiplo é 1.
Passo 2
Como vec e3 é paralelo a vec u, pela definição de paralelismo existe um escalar lambdaneq0 tal que
vec u = lambda,vec e3
Passo 3
A orientação de uma base (vec v1,vec v2,vec v3) em R^3 é dada pelo sinal do determinante da matriz cujas colunas são os vetores. Como E e F têm a mesma orientação, temos
det(vec e1,vec e2,vec e3);>;0 e det(vec e1,vec e2,vec u);>;0
Substituindo vec u=lambdavec e3 em det(vec e1,vec e2,vec u), obtemos