Suponha que E=(e1, e2, e3) e F=(e1, e2, u) são bases com a mesma orientação. Mostre que, se e3 / / u então existe lambda>0 tal que u=lambda e3. Conclua que u=e3 se |u|=|e3|.

Passo 1

O enunciado diz que
  • E=(vec e1,vec e2,vec e3) e F=(vec e1,vec e2,vec u) são bases de R^3 com a mesma orientação.
  • Sabemos que vec e3 é paralelo a vec u.
O conteúdo utilizado será a definição de vetores paralelos e a relação entre orientação e determinante de uma base. Vamos mostrar primeiro que vec u é múltiplo de vec e3 e depois usar a orientação para concluir que esse múltiplo é positivo. Finalmente, se os vetores têm o mesmo comprimento, veremos que o múltiplo é 1.

Passo 2

Como vec e3 é paralelo a vec u, pela definição de paralelismo existe um escalar lambdaneq0 tal que
vec u = lambda,vec e3

Passo 3

A orientação de uma base (vec v1,vec v2,vec v3) em R^3 é dada pelo sinal do determinante da matriz cujas colunas são os vetores. Como E e F têm a mesma orientação, temos
det(vec e1,vec e2,vec e3);>;0 e det(vec e1,vec e2,vec u);>;0
Substituindo vec u=lambdavec e3 em det(vec e1,vec e2,vec u), obtemos
det(vec e1,vec e2,vec u) =det(vec e1,vec e2,lambdavec e3) =lambda;det(vec e1,vec e2,vec e3)
Como det(vec e1,vec e2,vec e3)>0 e det(vec e1,vec e2,vec u)>0, segue que
lambda;det(vec e1,vec e2,vec e3)>0 Longrightarrow lambda>0

Passo 4

Se além disso |vec u|=|vec e3|, então
|vec u|=|lambda,vec e3|=|lambda|;|vec e3| Longrightarrow |lambda|=1
Como já mostramos que lambda>0, segue lambda=1.

Resposta

vec u=lambda,vec e3 com lambda>0, e se |vec u|=|vec e3| então vec u=vec e3.

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