Seja E uma base ortonormal. Verifique se o conjunto formado pelos vetores u, v e w, de coordenadas (23,-13, 23)E, (13 raiz2, 43 raiz2, 13 raiz2)E e (1,0,-1)E é uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u = l(tfrac23,-tfrac13,tfrac23r)E,
v = l(tfrac13raiz2,tfrac43raiz2,tfrac13raiz2r)E
e
w = (1,0,-1)E
formam uma base ortonormal de R^3.
Como E é ortonormal, basta checar que eles são mutuamente ortogonais e que cada um tem norma 1.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares par a par:
ucdotv = 23cdot13raiz2 + l(-tfrac13r)cdot43raiz2 + 23cdot13raiz2 = 2-4+29raiz2 = 0
ucdotw = 23cdot1 + l(-tfrac13r)cdot0 + 23cdot(-1) = 2-23 = 0
vcdotw = 13raiz2cdot1 + 43raiz2cdot0 + 13raiz2cdot(-1) = 1-13raiz2 = 0
Logo, u, v e w são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Agora, as normas:
|u| = raizl(tfrac23r)^2 + l(-tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 = raiz4+1+49 =1,
|v| = raizl(tfrac13raiz2r)^2 + l(tfrac43raiz2r)^2 + l(tfrac13raiz2r)^2 = raiz1+16+118 =1,
|w| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2neq1

Passo 4

Como u e v são unitários e todos os três são ortogonais, eles formam uma base ortogonal de R^3. Porém w não tem norma 1, logo o conjunto não é ortonormal.

Resposta

O conjunto é ortogonal e forma base, mas não é ortonormal porque |w|=raiz2neq1.

Exercícios relacionados