Sejam E e F duas bases ortonormais. Determine a e b, sabendo que u tem coordenadas (a,-1, b)E e (3, a+b, 0)F, e v tem coordenadas (1, a, 3)E e (-2,3,1)F.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases ortonormais E e F de R^3. As coordenadas de u e v nessas bases são dadas por:
– Em E: umapsto(a,-1,b) e vmapsto(1,a,3).
– Em F: umapsto(3,a+b,0) e vmapsto(-2,3,1).
Como a mudança de base entre duas bases ortonormais é uma transformação ortogonal, o produto interno e as normas são preservados. Usaremos isso para achar a e b.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas em cada base e recordamos que, em qualquer base ortonormal, o produto interno é dado pela soma das componentes ponto a ponto. Assim:
uE=(a,,-1,,b), vE=(1,,a,,3),
uF=(3,,a+b,,0), vF=(-2,,3,,1)
E temos as igualdades
lang<= u,vrang<=E=lang<= u,vrang<=F, |u|E^2=|u|F^2

Passo 3

Calculamos o produto interno em E:
lang<= u,vrang<=E = acdot1 +(-1)cdot a + bcdot3 = a - a + 3b = 3b
Em F:
lang<= u,vrang<=F = 3cdot(-2) + (a+b)cdot3 + 0cdot1 = -6 + 3a + 3b
Igualando-os:
3b = -6 + 3a + 3b Longrightarrow 0 = 3a - 6 Longrightarrow a = 2

Passo 4

Agora usamos a norma de u. Em E:
|u|E^2 = a^2 + (-1)^2 + b^2 = a^2 + 1 + b^2
Em F:
|u|F^2 = 3^2 + (a+b)^2 + 0^2 = 9 + (a+b)^2
Igualando:
a^2 + 1 + b^2 = 9 + (a+b)^2 =9 + a^2 +2ab + b^2 Longrightarrow 1 = 9 + 2ab Longrightarrow 2ab = -8 Longrightarrow ab = -4

Passo 5

Substituindo a=2 em ab=-4, vem
2cdot b = -4 Longrightarrow b = -2

Resposta

a = 2,; b = -2

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