Sejam
e
duas bases ortonormais. Determine
e
, sabendo que
tem coordenadas
e
, e
tem coordenadas
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas bases ortonormais
e
de
. As coordenadas de
e
nessas bases são dadas por:
– Em :
e
.
– Em :
e
.
Como a mudança de base entre duas bases ortonormais é uma transformação ortogonal, o produto interno e as normas são preservados. Usaremos isso para achar e
.
– Em
– Em
Como a mudança de base entre duas bases ortonormais é uma transformação ortogonal, o produto interno e as normas são preservados. Usaremos isso para achar
Passo 2
Escrevemos as coordenadas em cada base e recordamos que, em qualquer base ortonormal, o produto interno é dado pela soma das componentes ponto a ponto. Assim:
E temos as igualdades
Passo 3
Calculamos o produto interno em
:
Em
:
Igualando-os:
Passo 4
Agora usamos a norma de
. Em
:
Em
:
Igualando:
Passo 5
Substituindo
em
, vem