Seja E=(e1, e2, e3) uma base e seja F=(f1, f2, f3) um conjunto ordenado. Temos que f1=2 e1+e3, f2=e1-e2 e f3=n cdot e1+e2-2 n cdot e3.
Nas condições da letra a), F sendo base. Determine o valor de n , sabendo que V tem coordenadas em F assim (0,0,1)F e que v=-e1+e2-2 n e3.

Passo 1

O enunciado dá duas bases em R^3: a base canônica
E=(e1,e2,e3)
e o conjunto ordenado
F=(f1,f2,f3)
onde
f1=2e1+e3, f2=e1-e2, f3=n,e1+e2-2n,e3
Sabe-se que F é base (logo seus vetores são independentes) e que um vetor vec V tem coordenadas (0,0,1)F, enquanto em coordenadas de E vale
vec v=-e1+e2-2n,e3
Precisamos achar n.

Passo 2

Pelas coordenadas de vec V na base F temos
vec V =0f1+0f2+1f3 =f3

Passo 3

Como também vec V=vec v, igualamos
f3 = n,e1+e2-2n,e3 com -e1+e2-2n,e3

Passo 4

Comparando coeficientes em e1,e2,e3:
  • Em e1: n=-1.
  • Em e2: 1=1 (já OK).
  • Em e3: -2n=-2n (é identidade).
    Logo boxedn=-1

Passo 5

Para confirmar que F continua sendo base, basta ver que o determinante da matriz de passagem é
det=[,f1;f2;f3,] =5n+1,
e para n=-1 5(-1)+1=-4neq0. Portanto F é mesmo base.

Resposta

n=-1.

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