Traçar os triângulos de vértices:
A(3,5,5), B(5,7,0), C(0,7,3).

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” o triângulo cujos vértices em coordenadas espaciais são
A(3,5,5), B(5,7,0), C(0,7,3)
Estamos em Geometria Analítica no espaço R^3. Para desenhar esse triângulo é útil:
  1. Determinar o plano que contém A,B,C.
  2. Construir uma base ortonormal nesse plano.
  3. Projetar A,B,C nessa base bidimensional e, então, desenhar o triângulo no plano R^2.

Passo 2

Calcular os vetores de aresta a partir de A:
AB=B-A=(5-3,;7-5,;0-5)=(2,2,-5),
AC=C-A=(0-3,;7-5,;3-5)=(-3,2,-2)
Esses vetores estão no plano do triângulo.

Passo 3

Encontrar o vetor normal ao plano:
n=ABtimesAC =(2,2,-5)times(-3,2,-2) =(6,19,10)
A equação do plano é
6(x-3)+19(y-5)+10(z-5)=0

Passo 4

Construir uma base ortonormal e1,e2 no plano:
  1. e1 é a direção de AB normalizada:
e1=AB|AB| =(2,2,-5)raiz2^2+2^2+(-5)^2 =(2,2,-5)raiz33
  1. Tomar e2 como a normalização de ntimes e1. O produto é, até fator:
w=ntimes AB =(-115,50,-26),
e2=w|w|approx(-0,898,,0,390,,-0,203)

Passo 5

Projetar A,B,C nessa base, tomando A como origem:
  • A'=(0,0).
  • B'l((B-A)cdot e1,,(B-A)cdot e2r) =l(|AB|,;0r) approx(5,745,,0)
  • C'l((C-A)cdot e1,,(C-A)cdot e2r) =l(8raiz33,;3,880r) approx(1,394,,3,880)

Passo 6

No plano R^2 com eixos e1 e e2, desenhe o triângulo cujos vértices são
A'=(0,0), B'approx(5,745,0), C'approx(1,394,3,880)

Resposta

O triângulo em R^3 fica contido no plano
6(x-3)+19(y-5)+10(z-5)=0,
e projetado no plano e1,e2 tem vértices
A'=(0,0), B'approx(5,745,0), C'approx(1,394,3,880)

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