Seja E=(e1, e2, e3) base de V^3 e sejam u=(1,2,-1)E e
& f1=e1+e2+e3 & f2=m e1+2 m e2-e3 & f3=4 e2+3 e3
Nas condições do item (a), calcule m in R, para que u=(0,1,0)F.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial tridimensional V^3 com uma base E = (e1, e2, e3) . Também temos um vetor u = (1,2,-1)E representado nessa base. Além disso, são dadas as expressões dos vetores da base F em termos de E :
& f1 = e1 + e2 + e3 & f2 = m e1 + 2m e2 - e3 & f3 = 4 e2 + 3 e3
O objetivo é encontrar o valor de m tal que o vetor u tenha coordenadas (0,1,0)F na base F .

Passo 2

Para resolver, precisamos expressar o vetor u na base F . Se u = a f1 + b f2 + c f3 , então as coordenadas de u na base F são (a, b, c)F .
Como queremos que u = (0,1,0)F , isso significa que:
u = 0 cdot f1 + 1 cdot f2 + 0 cdot f3 = f2
Portanto, u = f2 .

Passo 3

Sabemos que u = (1,2,-1)E e também u = f2 = m e1 + 2m e2 - e3 .
Para que essas duas expressões representem o mesmo vetor, os coeficientes das componentes correspondentes devem ser iguais. Assim, podemos igualar as componentes de u em ambas as representações:
1 = m 2 = 2m -1 = -1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 1 = m Rightarrow m = 1 .
  2. Da segunda equação: 2 = 2m . Substituindo m = 1 :
2 = 2 cdot 1 Rightarrow 2 = 2
A terceira equação já confirma a consistência: -1 = -1 .

Resposta

O valor de m que satisfaz a condição é m = 1 .

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