Seja E=(e1, e2, e3) base de V^3 e sejam u=(1,2,-1)E e
& f1=e1+e2+e3 & f2=m e1+2 m e2-e3 & f3=4 e2+3 e3
Para que valores de m in R, F=(f1, f2, f3) é uma base de V^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre bases em espaços vetoriais, especificamente no espaço tridimensional V^3 . Queremos descobrir para quais valores de m o conjunto de vetores F = (f1, f2, f3) forma uma base de V^3 . Para isso, precisamos entender conceitos de independência linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para três vetores formarem uma base em V^3 , eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Uma maneira eficiente de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores f1, f2, f3 como colunas:
A = 1 & m & 0 1 & 2m & 4 1 & -1 & 3
Aqui, cada coluna representa um vetor fi .

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A . O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1 cdot (2m cdot 3 - 4 cdot (-1)) - m cdot (1 cdot 3 - 4 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot (-1) - 2m cdot 1)

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
  1. Calcular 2m cdot 3 = 6m
  2. Calcular 4 cdot (-1) = -4
  3. Subtrair: 6m - (-4) = 6m + 4
Então, o primeiro termo fica: 1 cdot (6m + 4) = 6m + 4
Agora, para o segundo termo:
  1. Calcular 1 cdot 3 = 3
  2. Calcular 4 cdot 1 = 4
  3. Subtrair: 3 - 4 = -1
Então, o segundo termo fica: -m cdot (-1) = m
O terceiro termo é zero, então não precisamos calcular.

Passo 6

Somando os termos:
det(A) = (6m + 4) + m = 7m + 4

Passo 7

Para que F seja uma base de V^3 , o determinante deve ser diferente de zero:
7m + 4 neq 0
Resolvendo para m :
7m neq -4 m neq -47

Resposta

Para que F = (f1, f2, f3) seja uma base de V^3 , o valor de m deve ser qualquer número real diferente de -47. Ou seja:
m in R setminus -47

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