Para que valores de m in R, F=(f1, f2, f3) é uma base de V^3 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre bases em espaços vetoriais, especificamente no espaço tridimensional V^3 . Queremos descobrir para quais valores de m o conjunto de vetores F = (f1, f2, f3) forma uma base de V^3 . Para isso, precisamos entender conceitos de independência linear e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para três vetores formarem uma base em V^3 , eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Uma maneira eficiente de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos montar a matriz A com os vetores f1, f2, f3 como colunas:
A = 1 & m & 0 1 & 2m & 4 1 & -1 & 3
Aqui, cada coluna representa um vetor fi .
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A . O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por: