Seja U=R^3 com bases B=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Seja w=(1,3,9) em relação à base C, determine as coordenadas de w com relação a base B.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial U = R^3 com duas bases diferentes: a base B = (1,2,0), (1,3,2), (0,1,3) e a base padrão C = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) . O vetor w = (1,3,9) está expresso na base C (a base padrão), e queremos descobrir como ele fica expresso na base B . Para isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra, usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que expressar um vetor em uma base diferente significa escrever esse vetor como uma combinação dos vetores dessa nova base. Ou seja, queremos encontrar escalares a , b e c tais que:
w = a cdot (1,2,0) + b cdot (1,3,2) + c cdot (0,1,3)
Isso nos dá uma maneira de “reconstruir” o vetor w usando os vetores da base B .

Passo 3

Agora, vamos escrever essa combinação de vetores de maneira mais detalhada, igualando as componentes correspondentes. Assim, temos:
1a + 1b + 0c = 1 2a + 3b + 1c = 3 0a + 2b + 3c = 9
Essas equações representam as coordenadas do vetor w nas duas bases, e nosso objetivo é encontrar os valores de a , b e c .

Passo 4

Vamos começar simplificando a primeira equação:
a + b = 1
Dessa equação, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar o a :
a = 1 - b
Isso nos ajuda a reduzir o número de incógnitas nas próximas equações.

Passo 5

Agora, substituímos a = 1 - b na segunda equação:
2(1 - b) + 3b + c = 3
Distribuindo o 2:
2 - 2b + 3b + c = 3
Simplificando:
2 + b + c = 3
Isolando b + c :
b + c = 1

Passo 6

Vamos para a terceira equação original:
Como o termo com [a) é zero, simplificamos para:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira da segunda:
Isso resulta em:
Agora, substituímos :
Por último, lembrando que :

Resposta

As coordenadas de w em relação à base B são (7, -6, 7) .

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