Seja com bases e .
Seja em relação à base , determine as coordenadas de com relação a base .
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com duas bases diferentes: a base e a base padrão . O vetor está expresso na base (a base padrão), e queremos descobrir como ele fica expresso na base . Para isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra, usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que expressar um vetor em uma base diferente significa escrever esse vetor como uma combinação dos vetores dessa nova base. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá uma maneira de “reconstruir” o vetor usando os vetores da base .
Passo 3
Agora, vamos escrever essa combinação de vetores de maneira mais detalhada, igualando as componentes correspondentes. Assim, temos:
Essas equações representam as coordenadas do vetor w nas duas bases, e nosso objetivo é encontrar os valores de a , b e c .
Passo 4
Vamos começar simplificando a primeira equação:
a + b = 1
Dessa equação, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar o a :
a = 1 - b
Isso nos ajuda a reduzir o número de incógnitas nas próximas equações.
Passo 5
Agora, substituímos a = 1 - b na segunda equação:
2(1 - b) + 3b + c = 3
Distribuindo o 2:
2 - 2b + 3b + c = 3
Simplificando:
2 + b + c = 3
Isolando b + c :
b + c = 1
Passo 6
Vamos para a terceira equação original:
Como o termo com [a) é zero, simplificamos para:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira da segunda:
Isso resulta em:
Agora, substituímos :
Por último, lembrando que :
Resposta
As coordenadas de w em relação à base B são (7, -6, 7) .