Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x>1 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x<1\end{cases}
Determinar o domínio de f.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x>1,\\\\ 3x-1, & \text{se }x<1, \end{cases}
e pede o domínio de f. Para achar o domínio, basta reunir todos os valores de x para os quais cada ramo está definido.

Passo 2

Analisando o ramo f(x)=x^{2}-1 para x>1: como x^{2}-1 é um polinômio, está definido para todo x\in\mathbb{R}. Mas aqui só usamos esse ramo quando x>1. Logo, esse pedaço contribui com o intervalo
(1,\infty).

Passo 3

Analisando o ramo f(x)=3x-1 para x<1: como 3x-1 também é polinômio, está definido para todo x\in\mathbb{R}. Mas só vale quando x<1. Portanto, esse pedaço contribui com o intervalo
(-\infty,1).

Passo 4

Em x=1 não há definição para f. Assim, o domínio de f é a união dos dois intervalos onde algum ramo está definido, excluindo x=1.

Resposta

(-\infty,1)\cup(1,\infty)

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