Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x>0 \\\\ 3 x-1, \text { se } x \leq 0\end{array}\right. e g(x)=|3 x-6|. Determinar as funções abaixo e seus correspondentes domínios:
(f g)(x)

Passo 1

O enunciado dá as funções
\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+1,&x>0,\\\ 3x-1,&x\le0,\end{cases}
e
\displaystyle g(x)=|3x-6|,
e pede o produto (f g)(x)=f(x)\cdot g(x) junto com seu domínio. Para isso vamos usar a definição de produto de funções e explorar o valor absoluto em g.

Passo 2

Primeiro identificamos os domínios de cada função:
- f está definida para todo x\in\mathbb{R} pois cobre x>0 e x\le0.
- g(x)=|3x-6| também está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Logo o domínio de (f g) é
D_{f g}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}.

Passo 3

Para lidar com o valor absoluto escrevemos g em forma piecewise:
g(x)=|3x-6|= \begin{cases} 6-3x, & x<2,\\\\ 3x-6, & x\ge2. \end{cases}

Passo 4

Agora combinamos as quebras de f e de g. As mudanças ocorrem em x=0 (para f) e x=2 (para g), de modo que temos três regiões:
\(i)\\ x\le0: aqui f(x)=3x-1 e g(x)=6-3x.
\(ii)\\ 0<x<2: aqui f(x)=2x+1 e g(x)=6-3x.
\(iii)\\ x\ge2: aqui f(x)=2x+1 e g(x)=3x-6.
Multiplicando em cada região:
(fg)(x)= \begin{cases} (3x-1)\,(6-3x), & x\le0,\\\ (2x+1)\,(6-3x), & 0<x<2,\\\ (2x+1)\,(3x-6), & x\ge2. \end{cases})

Resposta

(fg)(x)= \begin{cases} (3x-1)\,(6-3x), & x\le0,\\\ (2x+1)\,(6-3x), & 0<x<2,\\\ (2x+1)\,(3x-6), & x\ge2, \end{cases}
Domínio: \mathbb{R}.

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