Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x>0 \\\\ 3 x-1, \text { se } x \leq 0\end{array}\right. e g(x)=|3 x-6|. Determinar as funções abaixo e seus correspondentes domínios:
(f / g)(x).

Passo 1

O enunciado pede a função (f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} e seu domínio. Aqui o conteúdo é divisão de funções, cujo domínio é a interseção dos domínios de f e de g, excluindo os zeros de g. Vamos usar as definições
f(x)= \begin{cases} 2x+1,&x>0,\\\\ 3x-1,&x\le0, \end{cases}
e
g(x)=\lvert 3x-6\rvert.

Passo 2

Determinar o domínio de \tfrac{f}{g}. Como f e g estão definidas em \mathbb{R}, o único cuidado é evitar g(x)=0.
g(x)=0\iff \lvert 3x-6\rvert=0\iff 3x-6=0\iff x=2.
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\mathrm{Dom}\,(f/g)=\mathbb{R}\setminus\{2\}=(-\infty,2)\cup(2,\infty).

Passo 3

Expressar \lvert 3x-6\rvert\) sem valor absoluto: \[\lvert 3x-6\rvert= \begin{cases} 6-3x,&x<2,\\\\ 3x-6,&x>2. \end{cases}
E lembrar que
f(x)= \begin{cases} 3x-1,&x\le0,\\\\ 2x+1,&x>0. \end{cases}
Como x=2\] está fora do domínio, formamos três intervalos para \(\tfrac{f(x)}{g(x)}: x\le0, 0<x<2 e x>2.

Passo 4

Montar (f/g)(x) em cada caso:
(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} \dfrac{3x-1}{6-3x},&x\le0,\\[1em] \dfrac{2x+1}{6-3x},&0<x<2,\\[0.5em] \dfrac{2x+1}{3x-6},&x>2. \end{cases}]

Resposta

(f/g)(x)= \begin{cases} \dfrac{3x-1}{6-3x},&x\le0,\\\ \dfrac{2x+1}{6-3x},&0<x<2,\\\ \dfrac{2x+1}{3x-6},&x>2, \end{cases} \qquad \mathrm{Dom}\,(f/g)=(-\infty,2)\cup(2,\infty).

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