Seja a ED dada por:
. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo:
;
Fazendo
e
, mostre que
(Função esférica de Bessel de
ordem) e
(Função de Neummann de
ordem).
Fazendo
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via método de Frobenius, a equação diferencial
e mostrar que as duas soluções independentes são
O conteúdo é equação de Bessel esférica de ordem 1 e a técnica é o método de Frobenius, onde assumimos
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão, dividindo por
:
Substituindo
obtém-se, após agrupar potências de
, a relação inicial
para
, e a equação indicial (do termo
)
Passo 3
Do caso
temos a solução regular em
. A recorrência para
é
Escolhendo
e
, obtemos
e reconhecemos a expansão de
Passo 4
Para
surge a solução singular em
. Usando a mesma recorrência mas iniciando com
e escolhendo
, calcula-se
e isso coincide com a expansão de