Seja a ED dada por: x^2 y^prime prime+2 x y^prime+(x^2-2) y=0. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo: y(x)=sumn=0^infty Cn x^n+s;
Fazendo C0=1 / 3 e C1=-1, mostre que y1(x)=j1(x)=sen(x)x^2-cos (x)x (Função esférica de Bessel de 1^ a ordem) e y2(x)=n1(x)=-cos (x)x^2-sen(x)x (Função de Neummann de 1^ a ordem).

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via método de Frobenius, a equação diferencial
x^2y''+2x,y'+l(x^2-2r)y=0
e mostrar que as duas soluções independentes são
y1(x)=j1(x)=sen(x)x^2-cos(x)x, y2(x)=n1(x)=-cos(x)x^2-sen(x)x
O conteúdo é equação de Bessel esférica de ordem 1 e a técnica é o método de Frobenius, onde assumimos
y(x)=sumn=0^inftyCnx^n+s

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão, dividindo por x^2:
y''+2xy'+l(1-2x^2r)y=0
Substituindo
y=sumn=0^inftyCnx^n+s, y'=sumn=0^inftyCn(n+s)x^n+s-1, y''=sumn=0^inftyCn(n+s)(n+s-1)x^n+s-2,
obtém-se, após agrupar potências de x^n+s-2, a relação inicial
l[(n+s)(n+s+1)-2r],Cn + Cn-2=0,
para n>=2, e a equação indicial (do termo n=0)
s(s+1)-2=0 ;Longrightarrow; s=1ou s=-2

Passo 3

Do caso s=1 temos a solução regular em x=0. A recorrência para n>=2 é
Cn=-Cn-2(n+1)(n+2)-2 =-Cn-2n(n+3)
Escolhendo C0=tfrac13 e C1=0, obtemos
y1(x) =13x-130x^3+1840x^5-cdots
e reconhecemos a expansão de
j1(x) =sen(x)x^2-cos(x)x

Passo 4

Para s=-2 surge a solução singular em x=0. Usando a mesma recorrência mas iniciando com C0=0 e escolhendo C1=-1, calcula-se
y2(x) =-x^-1+x6-x^3120+cdots
e isso coincide com a expansão de
n1(x) =-cos(x)x^2-sen(x)x

Resposta

y1(x)=j1(x)=sen(x)x^2-cos(x)x, y2(x)=n1(x)=-cos(x)x^2-sen(x)x

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