Seja beta=e1, e2, e3 a base canônica do R^3. Se F é um operador linear do R^3 tal que F(e1)=e2, F(e2)=e3 e F(e3)=e1.
Mostrar que F^3=I, e que, portanto, F^2=F^-1.

Passo 1

O enunciado define um operador linear Fcolon R^3toR^3 que, em relação à base canônica beta=e1,e2,e3, satisfaz
F(e1)=e2, F(e2)=e3, F(e3)=e1
Queremos mostrar que F^3=I (o operador identidade) e daí concluir que F^2 é o inverso de F. Para isso usaremos que dois operadores lineares coincidem se agem da mesma forma em cada vetor da base e que a composição de operadores corresponde à multiplicação de suas matrizes.

Passo 2

Calcular F^2 em cada ei:
F^2(e1)=Fl(F(e1)r)=F(e2)=e3,
F^2(e2)=Fl(F(e2)r)=F(e3)=e1,
F^2(e3)=Fl(F(e3)r)=F(e1)=e2
Logo F^2 também faz um ciclo, mas “pulando” de e1 para e3, de e2 para e1 e de e3 para e2.

Passo 3

Agora aplicamos F mais uma vez para obter F^3:
F^3(e1)=Fl(F^2(e1)r)=F(e3)=e1,
F^3(e2)=Fl(F^2(e2)r)=F(e1)=e2,
F^3(e3)=Fl(F^2(e3)r)=F(e2)=e3

Passo 4

Como F^3(ei)=ei para i=1,2,3, concluímos que
F^3 = I

Passo 5

Da igualdade F^3=I segue
Fcirc F^2 = F^3 = I,
ou seja, F^2 é tanto inverso à direita quanto à esquerda de F. Portanto
F^2 = F^-1

Resposta

F^3 = I e F^2 = F^-1

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