Seja
a base canônica do
. Se
é um operador linear do
tal que
e
.
Mostrar que
, e que, portanto,
.
Mostrar que
Passo 1
O enunciado define um operador linear
que, em relação à base canônica
, satisfaz
Queremos mostrar que
(o operador identidade) e daí concluir que
é o inverso de
. Para isso usaremos que dois operadores lineares coincidem se agem da mesma forma em cada vetor da base e que a composição de operadores corresponde à multiplicação de suas matrizes.
Passo 2
Calcular
em cada
:
Logo
também faz um ciclo, mas “pulando” de
para
, de
para
e de
para
.
Passo 3
Agora aplicamos
mais uma vez para obter
:
Passo 4
Como
para
, concluímos que
Passo 5
Da igualdade
segue
ou seja,
é tanto inverso à direita quanto à esquerda de
. Portanto