Seja A: R^4 R definida por A(x, y, z, w)=x+y-2 z-w.
Verifique que A é uma transformação linear;

Passo 1

O enunciado define
Acolon R^4 to R, A(x,y,z,w)=x+y-2z-w
O conteúdo é transformações lineares: devemos verificar que para quaisquer vetores u, vinR^4 e escalar alphainR vale
  1. A( u+ v)=A( u)+A( v) (aditividade),
  2. A(alpha, u)=alpha,A( u) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam
u=(x1,y1,z1,w1) e v=(x2,y2,z2,w2).
Então
A( u+ v) =Al(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2r) =(x1+x2)+(y1+y2)-2(z1+z2)-(w1+w2)
Agrupando termos,
(x1+x2)+(y1+y2)-2(z1+z2)-(w1+w2) =(x1+y1-2z1-w1)+(x2+y2-2z2-w2) =A( u)+A( v)

Passo 3

Seja alphainR e u=(x,y,z,w).
A(alpha, u) =A(alpha x,;alpha y,;alpha z,;alpha w) =(alpha x)+(alpha y)-2(alpha z)-(alpha w) =alpha,(x+y-2z-w) =alpha,A( u)

Resposta

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) valem, A é uma transformação linear.

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