Seja A: R^4 R definida por A(x, y, z, w)=x+y-2 z-w.
Forneça dim(Im(A)) e dim(N(A)).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear A:R^4toR definida por
A(x,y,z,w)=x+y-2z-w
O conteúdo aqui é cálculo de posto (dimensão da imagem) e nulidade (dimensão do núcleo) usando o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 2

Para Im(A), note que A não é a aplicação zero (por exemplo A(1,0,0,0)=1). Assim todo tinR é atingido, pois basta escolher
(x,y,z,w)=(t,0,0,0)Longrightarrow A(t,0,0,0)=t
Logo
dim(Im(A))=1

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dim(R^4)=dim(Im(A))+dim(ker(A))
Como dim(R^4)=4 e dim(Im(A))=1, segue que
dim(ker(A))=4-1=3

Resposta

dim(Im(A))=1
dim(N(A))=3

Exercícios relacionados