Seja a equação diferencial:
partial^2 A(x)partial x^2+2 partial A(x)partial x+xA(x)=2 x, A(0)=-1, A(7)=1
© Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajustar uma função para o conjunto de pontos obtidos e determinar A(1 0). Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial em , resolvemos numericamente em vários pontos de e obtemos o conjunto de pontos . Agora, usando mínimos quadrados, queremos “colar” uma curva polinomial nesses pontos e depois estimar .
Matéria: ajuste por mínimos quadrados de polinômio.
O que vamos precisar:
  • Modelo polinomial (por exemplo, grau 2: );
  • Definir a soma dos quadrados dos erros e derivar as equações normais;
  • Resolver o sistema normal para encontrar ;
  • Avaliar o polinômio em .

Passo 2

Escolhemos um polinômio de grau 2 como modelo:
A(x)approx p(x)=a + b,x + c,x^2
A ideia dos mínimos quadrados é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=sumi=1^m l[Ai - (a + b,xi + c,xi^2)r]^2
Explicando a teoria: a gente considera a “diferença” entre valor real e valor estimado , eleva ao quadrado e soma para todos os pontos. O melhor ajuste é o que faz estas diferenças quadradas acumuladas serem mínimas.

Passo 3

Para achar o mínimo, fazemos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Spartial a=0, partial Spartial b=0, partial Spartial c=0
Isso gera o sistema linear (equações normais):
Aqui usamos soma sobre . Esses somatórios vêm diretamente dos pontos .

Passo 4

Agora basta calcular numericamente os somatórios:
.
Com eles, montamos o sistema 3×3 acima e resolvemos para .

Passo 5

Tendo p(x)=a + b,x + c,x^2 em mãos, nosso polinômio ajustado é
A(10)approx p(10)=a + bcdot10 + ccdot10^2
Logo, para estimar usamos

Resposta

A estimativa final é
boxedA(10)approx a + 10,b + 100,c,
onde são obtidos pela solução do sistema normal do método dos mínimos quadrados.

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