Seja a equação diferencial:
© Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajustar uma função para o conjunto de pontos obtidos e determinar
. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial em
, resolvemos numericamente em vários pontos de
e obtemos o conjunto de pontos
. Agora, usando mínimos quadrados, queremos “colar” uma curva polinomial nesses pontos e depois estimar
.
Matéria: ajuste por mínimos quadrados de polinômio.
O que vamos precisar:
Matéria: ajuste por mínimos quadrados de polinômio.
O que vamos precisar:
- Modelo polinomial (por exemplo, grau 2:
); - Definir a soma dos quadrados dos erros e derivar as equações normais;
- Resolver o sistema normal para encontrar
; - Avaliar o polinômio em
.
Passo 2
Escolhemos um polinômio de grau 2 como modelo:
A ideia dos mínimos quadrados é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
Explicando a teoria: a gente considera a “diferença” entre valor real
e valor estimado
, eleva ao quadrado e soma para todos os pontos. O melhor ajuste é o que faz estas diferenças quadradas acumuladas serem mínimas.
Passo 3
Para achar o mínimo, fazemos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Isso gera o sistema linear (equações normais):
Aqui usamos soma sobre
. Esses somatórios vêm diretamente dos pontos
.
Passo 4
Agora basta calcular numericamente os somatórios:
.
Com eles, montamos o sistema 3×3 acima e resolvemos para .
Com eles, montamos o sistema 3×3 acima e resolvemos para
Passo 5
Tendo
em mãos, nosso polinômio ajustado é
Logo, para estimar
usamos
Resposta
A estimativa final é
onde
são obtidos pela solução do sistema normal do método dos mínimos quadrados.