Seja C a elipse y^23+x^25=1. Calcular o comprimento total de C e a área do interior da elipse utilizando Métodos de Integração Numérica. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.

Passo 1

Então, tá aí o exercício: a elipse
y^23+x^25=1
pede pra calcular o comprimento total da curva e a área interna usando métodos de integração numérica.
Conteúdo envolvido:
  • Parametrização de elipse (teoria de curvas).
  • Fórmulas de integrais para comprimento e área.
  • Método de Simpson (regra de 1/3) pra aproximar integrais.

Passo 2

Comprimento de uma curva dada por L=integralt0^t1raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt é
a=raiz5, b=raiz3, x(t)=acos t,;y(t)=bsin t, tin[0,2pi]
Para nossa elipse, definimos
x'(t)=-asin t, y'(t)=bcos t
Então
L=integral0^2piraiza^2sin^2t + b^2cos^2t;dt
e
L = 2integral0^piraiza^2sin^2t + b^2cos^2t;dt
Como a função dentro da raiz tem período , podemos fazer
e aplicar Simpson na faixa .

Passo 3

Aplicando Simpson com t0=0,;t1=tfracpi4,;t2=tfracpi2,;t3=tfrac3pi4,;t4=pi subintervalos em f(ti)=raiza^2sin^2ti + b^2cos^2ti , temos integral0^pif(t),dtapprox De e pontos
Lapprox2times6.271=12.54
Calculamos
numérica e montamos
Com , obtemos
f(0)=1.7321, f(π/4)=2.0000, f(π/2)=2.2361, f(3π/4)=2.0000, f(π)=1.7321
→ integral ≈6.271 →

Passo 4

Para a área interna, usamos a fórmula clássica
A = 4integral0^a braiz1-x^2a^2;dx,
que vem de escrever integral0^a g(x),dxapprox De e multiplicar por 4 quadrantes.
De novo vamos de Simpson em com , .
Montamos os e , aplicamos
e depois esse resultado.

Passo 5

Computando com Aapprox4times2.986=11.94 , :
g(0)=1.7321, g(a/4)≈1.6770, g(a/2)=1.5000, g(3a/4)≈1.1450, g(a)=0
→ integral ≈2.986 →
(Se aumentar , converge pra .)

Resposta

Comprimento aproximado e área aproximada (com Simpson ).

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