Seja
a elipse
. Calcular o comprimento total de
e a área do interior da elipse utilizando Métodos de Integração Numérica. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.
Passo 1
Então, tá aí o exercício: a elipse
pede pra calcular o comprimento total da curva e a área interna usando métodos de integração numérica.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Parametrização de elipse (teoria de curvas).
- Fórmulas de integrais para comprimento e área.
- Método de Simpson (regra de 1/3) pra aproximar integrais.
Passo 2
Comprimento de uma curva dada por
é
Para nossa elipse, definimos
Então
e
Como a função dentro da raiz tem período
, podemos fazer
e aplicar Simpson na faixa
.
Passo 3
Aplicando Simpson com
subintervalos em
, temos
e pontos
Calculamos
numérica e montamos
Com
,
obtemos
f(0)=1.7321, f(π/4)=2.0000, f(π/2)=2.2361, f(3π/4)=2.0000, f(π)=1.7321
→ integral ≈6.271 →
f(0)=1.7321, f(π/4)=2.0000, f(π/2)=2.2361, f(3π/4)=2.0000, f(π)=1.7321
→ integral ≈6.271 →
Passo 4
Para a área interna, usamos a fórmula clássica
que vem de escrever
e multiplicar por 4 quadrantes.
De novo vamos de Simpson em com
,
.
Montamos os e
, aplicamos
De novo vamos de Simpson em
Montamos os
e depois
esse resultado.
Passo 5
Computando com
,
:
g(0)=1.7321, g(a/4)≈1.6770, g(a/2)=1.5000, g(3a/4)≈1.1450, g(a)=0
→ integral ≈2.986 →
g(0)=1.7321, g(a/4)≈1.6770, g(a/2)=1.5000, g(3a/4)≈1.1450, g(a)=0
→ integral ≈2.986 →
(Se aumentar
, converge pra
.)
Resposta
Comprimento aproximado
e área aproximada
(com Simpson
).