Seja C a interseção do cilindro parabólico com a parte do plano , tal que . Calcule .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde é a curva dada pela interseção do cilindro parabólico com o plano , para .
O conteúdo que vamos usar é a parametrização de curvas no espaço e o cálculo do elemento de comprimento de arco .
Passo 2
Parametrizamos a curva usando o próprio parâmetro . Definimos
Então
e o elemento de arco é
Passo 3
Substituindo na integral de linha, temos
integralCy,ds = integral0^1y,raiz4y^2+2;dy
Passo 4
Para calcular
integral0^1y,raiz4y^2+2;dy
fazemos a substituição
u = 4y^2+2, du = 8y,dy ;Longrightarrow; y,dy = tfrac18,du