Seja C a interseção do cilindro parabólico x=y^2 com a parte do plano z=y, tal que 0 <= y <= 1. Calcule integralC y d s.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralCy,ds
onde C é a curva dada pela interseção do cilindro parabólico x=y^2 com o plano z=y, para 0<= y<=1.
O conteúdo que vamos usar é a parametrização de curvas no espaço e o cálculo do elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Parametrizamos a curva usando o próprio parâmetro y. Definimos
r(y) = l(x(y),y,z(y)r) = l(y^2,,y,,yr), 0<= y<=1
Então
r'(y) = l(2y,,1,,1r),
e o elemento de arco é
ds = llVert r'(y)rrVert ,dy = raiz(2y)^2+1^2+1^2;dy = raiz4y^2+2;dy

Passo 3

Substituindo na integral de linha, temos
integralCy,ds = integral0^1y,raiz4y^2+2;dy

Passo 4

Para calcular
integral0^1y,raiz4y^2+2;dy
fazemos a substituição
u = 4y^2+2, du = 8y,dy ;Longrightarrow; y,dy = tfrac18,du
Quando y=0, u=2; quando y=1, u=6. Assim
integral0^1y,raiz4y^2+2;dy = 18integral2^6u^1/2,du = 18,gl[23u^3/2gr]2^6 = 112l(u^3/2r)|2^6

Passo 5

Avaliaremos
112l(6^3/2-2^3/2r) = 112l(6raiz6-2raiz2r) = 3raiz6-raiz26

Resposta

3raiz6-raiz26

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