Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F. \left\{1, x, x^{2}\right\};
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto \{1,x,x^2\}\subset F é linearmente independente ou não, e em seguida calcular a dimensão do subespaço que ele gera. O conteúdo envolve dependência linear de funções analíticas e o uso do wronskiano.
Passo 2
Como as funções são analíticas, basta calcular o wronskiano
Como W(x) é a constante 2 (não é identicamente zero), concluímos que \{1,x,x^2\} é linearmente independente. O subespaço que elas geram é de dimensão igual ao número de funções, ou seja, 3.
Resposta
O conjunto \{1,x,x^2\} é linearmente independente.
A dimensão do subespaço gerado por esse conjunto é 3.