Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{1, x, x^{2}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto \{1,x,x^2\}\subset F é linearmente independente ou não, e em seguida calcular a dimensão do subespaço que ele gera. O conteúdo envolve dependência linear de funções analíticas e o uso do wronskiano.

Passo 2

Como as funções são analíticas, basta calcular o wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x) & f_{3}(x)\\\ f'_{1}(x) & f'_{2}(x) & f'_{3}(x)\\\ f''_{1}(x) & f''_{2}(x) & f''_{3}(x) \end{vmatrix}
onde f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=x e f_{3}(x)=x^2. Se W(x)\not\equiv0, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Calculando as derivadas:
f_{1}'(x)=0,\quad f_{1}''(x)=0, \quad f_{2}'(x)=1,\quad f_{2}''(x)=0, \quad f_{3}'(x)=2x,\quad f_{3}''(x)=2.
Logo,
W(x)= \begin{vmatrix} 1 & x & x^2\\\\ 0 & 1 & 2x\\\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2x\\\\ 0 & 2 \end{vmatrix} =1\cdot(1\cdot2-0)=2\neq0.

Passo 4

Como W(x) é a constante 2 (não é identicamente zero), concluímos que \{1,x,x^2\} é linearmente independente. O subespaço que elas geram é de dimensão igual ao número de funções, ou seja, 3.

Resposta

O conjunto \{1,x,x^2\} é linearmente independente.
A dimensão do subespaço gerado por esse conjunto é 3.

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