Sejam
um espaço Euclidiano real de dimensão finita e
um operador auto-adjunto. Mostre que
para todo
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um espaço Euclidiano real
, de dimensão finita, e um operador linear auto-adjunto
Precisamos mostrar que
O conteúdo-chave será o Teorema espectral para operadores auto-adjuntos, que garante existência de uma base ortonormal de autovetores de
.
Passo 2
Mostramos primeiro a inclusão trivial . De fato, se então
e, aplicando
, obtemos
logo .
Passo 3
Para a inclusão , usamos o Teorema espectral. Como
é auto-adjunto, existe uma base ortonormal
de
e autovalores reais
tais que
Qualquer vetor
escreve-se como
de onde
Se
, então
para todo
. Sempre que
temos
, de modo que
só tem componentes nos autovetores com
. Isso implica
isto é, .
Resposta
Concluímos que para todo
.