Sejam V um espaço Euclidiano real de dimensão finita e T: V V um operador auto-adjunto. Mostre que
Ker(T^k)=Ker(T) para todo k >= 1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um espaço Euclidiano real , de dimensão finita, e um operador linear auto-adjunto
Precisamos mostrar que
O conteúdo-chave será o Teorema espectral para operadores auto-adjuntos, que garante existência de uma base ortonormal de autovetores de .

Passo 2

Mostramos primeiro a inclusão trivial . De fato, se então e, aplicando , obtemos
logo .

Passo 3

Para a inclusão , usamos o Teorema espectral. Como é auto-adjunto, existe uma base ortonormal de e autovalores reais tais que
Qualquer vetor escreve-se como
de onde
Se , então para todo . Sempre que temos , de modo que só tem componentes nos autovetores com . Isso implica
isto é, .

Resposta

Concluímos que para todo .

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