Seja T: R^3 R^3. Em cada item, determine a matriz em relação à base canônica e a base B=(1,1,0),(1,2,3),(1,3,5).
T(x, y, z)=(x, y, 0).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,y,0),
e pede:
  1. a matriz de T na base canônica E=e1,e2,e3,
  2. a matriz de T na base
B=l(v1,v2,v3r) =l((1,1,0),(1,2,3),(1,3,5)r)
Para isso vamos usar que a matriz de T em uma base é dada pelas coordenadas de T das direções dessa base expressas na mesma base.

Passo 2

Na base canônica E basta ver o efeito de T em (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1):
T(1,0,0)=(1,0,0), T(0,1,0)=(0,1,0), T(0,0,1)=(0,0,0)
Logo a matriz em relação à base canônica é
[T]EtoE = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Para achar
coordenadas
2. . Então
Queremos . Isso dá o sistema
Da terceira equação , , . Logo coordenadas
  1. . Então
Procuramos , gerando
De novo , , . Logo coordenadas

Passo 4

Agora montamos a matriz [T]Bto B cujas colunas são as coordenadas de T(v1), T(v2), T(v3) em B:
[T]Bto B = 1 & 3 & 5 0 & -5 & -10 0 & 3 & 6

Resposta

A matriz de T na base canônica é
[T]EtoE = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ,
e na base B é
[T]Bto B = 1 & 3 & 5 0 & -5 & -10 0 & 3 & 6

Exercícios relacionados