A temperatura
em
é dada por
. Em que direção
aumenta mais rapidamente no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura
e pergunta em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que nos mostra a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável, ou seja,
,
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada:
- Para
: derivamos em relação a , que dá , e em relação a , que dá . Então, . - Para
: derivamos em relação a , que dá , e em relação a , que dá . Então, . - Para
: derivamos em relação a , que dá . Então, .
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico
:
Passo 5
O vetor gradiente
é formado por essas derivadas parciais avaliadas no ponto, ou seja:
Esse vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente.
Passo 6
Para encontrar apenas a direção e não o sentido ou magnitude, podemos normalizar o vetor gradiente, dividindo cada componente pela magnitude do vetor. Mas como a questão pede apenas a direção, o vetor
já nos dá a direção desejada.
Resposta
A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor
no ponto
.