A temperatura T em (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=6 x^2+2 y^2+4 x y+8 z^2. Em que direção T aumenta mais rapidamente no ponto (1,3,-4) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura T(x, y, z) = 6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2 e pergunta em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto (1, 3, -4) . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que nos mostra a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de T em relação a cada variável, ou seja, partial Tpartial x , partial Tpartial y e partial Tpartial z . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:
  • Para partial Tpartial x : derivamos 6x^2 em relação a x , que dá 12x , e 4xy em relação a x , que dá 4y . Então, partial Tpartial x = 12x + 4y .
  • Para partial Tpartial y : derivamos 2y^2 em relação a y , que dá 4y , e 4xy em relação a y , que dá 4x . Então, partial Tpartial y = 4y + 4x .
  • Para partial Tpartial z : derivamos 8z^2 em relação a z , que dá 16z . Então, partial Tpartial z = 16z .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico (1, 3, -4) :
  • partial Tpartial x = 12(1) + 4(3) = 12 + 12 = 24
  • partial Tpartial y = 4(3) + 4(1) = 12 + 4 = 16
  • partial Tpartial z = 16(-4) = -64

Passo 5

O vetor gradiente nabla T é formado por essas derivadas parciais avaliadas no ponto, ou seja:
nabla T = ( 24, 16, -64 )
Esse vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente.

Passo 6

Para encontrar apenas a direção e não o sentido ou magnitude, podemos normalizar o vetor gradiente, dividindo cada componente pela magnitude do vetor. Mas como a questão pede apenas a direção, o vetor ( 24, 16, -64 ) já nos dá a direção desejada.

Resposta

A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor nabla T = (24,,16,,-64) no ponto (1, 3, -4) .

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