Seja . Calcular: lim x 1^+ f(x), lim x 1^- f(x) e lim x 1 f(x).
Passo 1
Beleza, olha só: temos uma função f definida por partes e queremos ver o que acontece nos limites quando x se aproxima de 1. Isso é um problema de limite de função por partes, então a ideia é analisar separadamente o que vem da esquerda e o que vem da direita. A definição é:
f(x) = x^3 + 1, & se x < 1, 3, & se x = 1, x + 1, & se x > 1
Passo 2
Vamos começar pelo limite pela direita, isto é limx to 1^+ f(x). Para valores de x > 1, a regra válida é f(x)=x+1. Logo, ao aproximar x de 1 vindo da direita, basta substituir:
1 + 1 = 2
Portanto, limx to 1^+ f(x) = 2.
Passo 3
Agora o limite pela esquerda, limx to 1^- f(x). Para x < 1 usamos f(x)=x^3+1. Substituindo x = 1 nesse ramo temos:
1^3 + 1 = 2
Logo, limx to 1^- f(x) = 2.
Passo 4
Como os limites laterais deram o mesmo valor (2), a gente conclui que o limite geral existe e vale esse mesmo número. A teoria diz que se limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x), então limx to a f(x) existe e é igual a esse valor.
Resposta
limx to 1^+ f(x) = 2, limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1 f(x) = 2.