Seja f(x, y)=x^2+y^2-ln (1+2(x^2+y^2))x^2+y^2
Calcule lim(x, y) mapsto(0,0) f(x, y).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^2+y^2-lnl(1+2(x^2+y^2)r)x^2+y^2
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo aqui é reduzir o problema a um limite de uma única variável, explorando a dependência radial em x^2+y^2, e usar regras de limite (por exemplo, L’Hospital).

Passo 2

Observe que a expressão só depende de
t = x^2+y^2>=0
Logo podemos reescrever
f(x,y)=t - ln(1+2t)t
e, ao levar (x,y)to(0,0), temos tto0^+. Assim basta calcular
limtto0t - ln(1+2t)t

Passo 3

Como para tto0 tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, aplicamos L’Hospital:
ddtl(t - ln(1+2t)r) =1-21+2t, ddt(t)=1
Portanto
limtto0t - ln(1+2t)t =limtto0l(1-21+2tr) =1-21 =-1

Resposta

-1

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