Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência
converge, e se sim, determinar o seu limite. Aqui, vamos usar conceitos de funções exponenciais e aplicar o Teorema de L’Hôpital para nos ajudar na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência. Temos exponenciais com potências positivas e negativas de
. Sabemos que, quando
cresce,
cresce muito rápido, enquanto
diminui rapidamente para zero.
Passo 3
Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
para simplificar a expressão:
Passo 4
Observe que
tende a 0 quando
tende ao infinito, porque
e
cresce sem limite. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Como o limite existe e é igual a 1, concluímos que a sequência
é convergente, e seu limite é 1.
Resposta
A sequência
é convergente, e seu limite é 1.