Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
an=e^n-e^-ne^n+e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência an = e^n - e^-ne^n + e^-n converge, e se sim, determinar o seu limite. Aqui, vamos usar conceitos de funções exponenciais e aplicar o Teorema de L’Hôpital para nos ajudar na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência. Temos exponenciais com potências positivas e negativas de n . Sabemos que, quando n cresce, e^n cresce muito rápido, enquanto e^-n diminui rapidamente para zero.

Passo 3

Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por e^n para simplificar a expressão:
an = e^n - e^-ne^n + e^-n = e^n/e^n - e^-n/e^ne^n/e^n + e^-n/e^n = 1 - e^-2n1 + e^-2n

Passo 4

Observe que e^-2n tende a 0 quando n tende ao infinito, porque e^-2n = 1e^2n e e^2n cresce sem limite. Portanto, a expressão simplifica para:
limn to infty an = 1 - 01 + 0 = 11 = 1

Passo 5

Como o limite existe e é igual a 1, concluímos que a sequência an é convergente, e seu limite é 1.

Resposta

A sequência an = e^n - e^-ne^n + e^-n é convergente, e seu limite é 1.

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