Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
an=n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência an = n^2 2^nn! é convergente, ou seja, se ela se aproxima de algum valor à medida que n cresce. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes de limites, como o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche), racionalizações e limites fundamentais. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a sequência an = n^2 2^nn! quando n fica muito grande. Temos no numerador n^2 2^n e no denominador n! .
O que a gente precisa analisar é como cada parte cresce conforme n aumenta:
  • n^2 cresce de forma quadrática.
  • 2^n cresce de forma exponencial.
  • n! (fatorial de n ) cresce ainda mais rápido que exponenciais.
Então, intuitivamente, o denominador está crescendo bem mais rápido do que o numerador. Mas vamos formalizar isso!

Passo 3

Vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar o limite de uma sequência quando sabemos que ela está “presas” entre duas outras sequências cujo limite conhecemos.
Para aplicar esse teorema, precisamos encontrar duas sequências que sejam menores e maiores do que an para todo n suficientemente grande, e que ambas tenham o mesmo limite.
Sabemos que n! cresce muito rápido, então vamos comparar 2^nn! :
Para n >= 4 :
n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 1 >= 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Isso significa que n! é sempre maior que 24 para n >= 4 . Então:
2^nn! <= 2^n24
Multiplicando ambos os lados por n^2 :
an = n^2 2^nn! <= n^2 2^n24
Mas mesmo assim, para valores grandes de n , n! cresce muito mais rápido que 2^n , fazendo an tender a zero.

Passo 4

Além disso, sabemos que para todos os n , an é positivo:
an = n^2 2^nn! > 0
Então, temos que 0 <= an <= n^2 2^n24 . Como n^2 2^n24 tende a zero quando n tende ao infinito (já que n! domina o crescimento), pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que an também tende a zero.

Resposta

Portanto, a sequência an = n^2 2^nn! é convergente e o seu limite é 0 .

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