Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
é convergente, ou seja, se ela se aproxima de algum valor à medida que
cresce. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes de limites, como o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche), racionalizações e limites fundamentais. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a sequência
quando
fica muito grande. Temos no numerador
e no denominador
.
O que a gente precisa analisar é como cada parte cresce conforme
aumenta:
-
cresce de forma quadrática. -
cresce de forma exponencial. -
(fatorial de ) cresce ainda mais rápido que exponenciais.
Então, intuitivamente, o denominador está crescendo bem mais rápido do que o numerador. Mas vamos formalizar isso!
Passo 3
Vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar o limite de uma sequência quando sabemos que ela está “presas” entre duas outras sequências cujo limite conhecemos.
Para aplicar esse teorema, precisamos encontrar duas sequências que sejam menores e maiores do que
para todo
suficientemente grande, e que ambas tenham o mesmo limite.
Sabemos que
cresce muito rápido, então vamos comparar
:
Para
:
Isso significa que
é sempre maior que
para
. Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas mesmo assim, para valores grandes de
,
cresce muito mais rápido que
, fazendo
tender a zero.
Passo 4
Além disso, sabemos que para todos os
,
é positivo:
Então, temos que
. Como
tende a zero quando
tende ao infinito (já que
domina o crescimento), pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que
também tende a zero.
Resposta
Portanto, a sequência
é convergente e o seu limite é
.