Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
an=pi^n1+2^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência an = pi^n1 + 2^2n . O objetivo é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número à medida que n cresce. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos importantes como o Teorema do Confronto, entender como as potências funcionam e aplicar limites fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento das potências no numerador e no denominador. No numerador temos pi^n e no denominador temos 2^2n , que pode ser reescrito como (2^2)^n = 4^n . Então, a sequência fica:
an = pi^n1 + 4^n

Passo 3

Agora, vamos comparar o crescimento de pi^n e 4^n . Sabemos que pi é aproximadamente 3,14 e 4 = 2^2 . Quando comparamos as bases das potências, 4 é maior que pi , o que significa que 4^n cresce muito mais rápido que pi^n conforme n aumenta.

Passo 4

Como 4^n cresce mais rápido, o denominador 1 + 4^n será basicamente dominado por 4^n para valores grandes de n . Então, podemos simplificar a sequência para:
an approx pi^n4^n = ( pi4 )^n

Passo 5

Agora, vamos olhar o limite de ( pi4 )^n quando n tende ao infinito. Como pi4 é menor que 1 (já que pi approx 3,14 e 4 é maior), sabemos que uma base menor que 1 elevada a uma potência que tende ao infinito vai para 0. Matematicamente:
limn to infty ( pi4 )^n = 0

Passo 6

Finalmente, aplicando o Teorema do Confronto, já que an é menor ou igual a ( pi4 )^n para valores grandes de n e sabemos que ( pi4 )^n tende a 0, segue que an também tende a 0.

Resposta

A sequência an = pi^n1 + 2^2n é convergente e seu limite é 0.

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