Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
. O objetivo é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número à medida que
cresce. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos importantes como o Teorema do Confronto, entender como as potências funcionam e aplicar limites fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento das potências no numerador e no denominador. No numerador temos
e no denominador temos
, que pode ser reescrito como
. Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos comparar o crescimento de
e
. Sabemos que
é aproximadamente 3,14 e
. Quando comparamos as bases das potências, 4 é maior que
, o que significa que
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta.
Passo 4
Como
cresce mais rápido, o denominador
será basicamente dominado por
para valores grandes de
. Então, podemos simplificar a sequência para:
Passo 5
Agora, vamos olhar o limite de
quando
tende ao infinito. Como
é menor que 1 (já que
e
é maior), sabemos que uma base menor que 1 elevada a uma potência que tende ao infinito vai para 0. Matematicamente:
Passo 6
Finalmente, aplicando o Teorema do Confronto, já que
é menor ou igual a
para valores grandes de
e sabemos que
tende a 0, segue que
também tende a 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.