Seja f(x)=ccx^2-1, & se x<2 1, & se x=2 3 x-5, & se x>2.
Calcule lim x 2 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função f(x) que é definida de três jeitos diferentes, dependendo de como x se compara a 2. Nosso objetivo aqui é calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2, ou seja, limx 2 f(x) . Para isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais, que são os limites quando x se aproxima de um ponto pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2, ou seja, pelo lado esquerdo. Quando x < 2 , a função é dada por f(x) = x^2 - 1 . Então, o limite pela esquerda é:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x^2 - 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite substituindo x por 2 na expressão x^2 - 1 :
limx to 2^- (x^2 - 1) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Então, o limite pela esquerda é 3.

Passo 4

Em seguida, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2, ou seja, pelo lado direito. Quando x > 2 , a função é f(x) = 3x - 5 . Então, o limite pela direita é:
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (3x - 5)

Passo 5

Calculando esse limite substituindo x por 2 na expressão 3x - 5 :
limx to 2^+ (3x - 5) = 3 times 2 - 5 = 6 - 5 = 1
Portanto, o limite pela direita é 1.

Passo 6

Agora que temos os limites laterais, podemos comparar:
  • Limite pela esquerda: 3
  • Limite pela direita: 1
Para que o limite geral limx 2 f(x) exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Neste caso, 3 não é igual a 1.

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( 3 neq 1 ), concluímos que:
limx 2 f(x) não existe ã

Exercícios relacionados