Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função que tem várias variáveis. O enunciado é: Seja
. Queremos achar
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando a gente tem uma função com várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma variável (digamos,
) mostra como
muda quando só
muda, mantendo as outras variáveis (
e
) constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Como
e
são constantes quando derivamos em relação a
, temos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Derivando
em relação a
:
Aqui,
e
são constantes, então:
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar
.
Derivando
em relação a
:
Como apenas o termo
depende de
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto
.
Para
:
Substituindo
e
:
Para
:
Substituindo
e
:
Para
:
Substituindo
: