Seja w=4 e^x^2 y^3+z^2. Calcule partial wpartial x(1,1,1), partial wpartial y(1,1,1) e partial wpartial z(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função que tem várias variáveis. O enunciado é: Seja w = 4 e^x^2 y^3 + z^2 . Queremos achar partial wpartial x(1,1,1) , partial wpartial y(1,1,1) e partial wpartial z(1,1,1) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando a gente tem uma função com várias variáveis, como w(x, y, z) , a derivada parcial em relação a uma variável (digamos, x ) mostra como w muda quando só x muda, mantendo as outras variáveis ( y e z ) constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de w em relação a x , ou seja, partial wpartial x .
A função é:
w = 4 e^x^2 y^3 + z^2
A derivada parcial de w em relação a x é:
partial wpartial x = 4 e^x^2 y^3 cdot partialpartial x(x^2 y^3)
Como y e z são constantes quando derivamos em relação a x , temos:
partialpartial x(x^2 y^3) = 2x y^3
Então:
partial wpartial x = 4 e^x^2 y^3 cdot 2x y^3 = 8x y^3 e^x^2 y^3

Passo 4

Agora, vamos calcular partial wpartial y .
Derivando w em relação a y :
partial wpartial y = 4 e^x^2 y^3 cdot partialpartial y(x^2 y^3)
Aqui, x e z são constantes, então:
partialpartial y(x^2 y^3) = 3x^2 y^2
Portanto:
partial wpartial y = 4 e^x^2 y^3 cdot 3x^2 y^2 = 12x^2 y^2 e^x^2 y^3

Passo 5

Por fim, vamos encontrar partial wpartial z .
Derivando w em relação a z :
partial wpartial z = partialpartial z(4 e^x^2 y^3 + z^2)
Como apenas o termo z^2 depende de z :
partial wpartial z = 2z

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto (1,1,1) .
Para partial wpartial x :
8x y^3 e^x^2 y^3
Substituindo x = 1 e y = 1 :
8 cdot 1 cdot 1^3 cdot e^1^2 cdot 1^3 = 8e
Para partial wpartial y :
12x^2 y^2 e^x^2 y^3
Substituindo x = 1 e y = 1 :
12 cdot 1^2 cdot 1^2 cdot e^1^2 cdot 1^3 = 12e
Para partial wpartial z :
2z
Substituindo z = 1 :
2 cdot 1 = 2

Resposta

partial wpartial x(1,1,1) = 8e
partial wpartial y(1,1,1) = 12e
partial wpartial z(1,1,1) = 2

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