Seja S=[ccccc0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0]. Calcule S^k, para k=2,3,4,5,6.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
S = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
e pede S^k para k=2,3,4,5,6.
Isso faz parte da matéria de matrizes nilpotentes e potências de matrizes: note que S “desloca” cada linha uma coluna à direita. A cada multiplicação por S, os 1's da superdiagonal sobem mais uma posição.

Passo 2

Vamos entender o padrão geral: o produto (S^k)ij é 1 sempre que j-i=k e 0 caso contrário. Em outras palavras, S^k tem 1's na k-ésima superdiagonal e zeros em todas as outras posições. Para uma matriz 5times5, isso faz sentido só quando k<=5; se k>4 todas as posições acima da diagonal principal acabam ficando 0.

Passo 3

Para k=2 temos 1's na segunda superdiagonal, ou seja, em (1,3),(2,4),(3,5). Logo
S^2 = 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Para k=3 os 1's sobem para a terceira superdiagonal, em (1,4) e (2,5). Assim
S^3 = 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Para k=4 só há 1 em (1,5), na quarta superdiagonal:
S^4 = 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Para k>=5 não cabe mais alcançarmos a superdiagonal dentro de uma matriz 5times5, então todos os elementos são zero. Logo
S^5 = S^6 = 05times5

Resposta

S^2 = 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , S^3 = 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
S^4 = 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , S^5 = S^6 = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

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