Suponha que A seja uma matriz m times n e que existam matrizes de tamanho n times m C e D tais que C A=In e A D=Im. Prove que m=n e C=D. [Sugestão: Pense sobre o produto C A D.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de tamanho mtimes n e duas matrizes C e D, ambas de tamanho ntimes m, tais que
C,A = In, A,D = Im
O objetivo é mostrar que necessariamente m=n e que, além disso, C=D.
Para isso vamos usar duas ideias principais: (i) desigualdades de posto de matrizes e (ii) o produto C A D.

Passo 2

Da igualdade C,A = In segue que
rank(C A) = rank(In) = n
Mas em geral rank(C A)<= rank(C), e também rank(C)<= min(n,m). Assim
n = rank(C A)<= rank(C)<= min(n,m) Longrightarrow n<= m
De modo análogo, da igualdade A,D=Im obtemos
rank(A D)=rank(Im)=m e rank(A D)<= rank(D)<= min(n,m),
o que leva a
m<= n
Combinando n<= m e m<= n concluímos que
m=n

Passo 3

Agora que sabemos m=n, todas as matrizes envolvidas são quadradas de ordem n. Considere o produto
C A D
Por um lado,
C A D = (C A),D = In,D = D
Por outro lado,
C A D = C,(A D) = C,In = C
Logo C=D.

Resposta

m=n e C=D.

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