Suponha que
seja uma matriz
e que existam matrizes de tamanho
e
tais que
e
. Prove que
e
. [Sugestão: Pense sobre o produto
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de tamanho
e duas matrizes
e
, ambas de tamanho
, tais que
O objetivo é mostrar que necessariamente
e que, além disso,
.
Para isso vamos usar duas ideias principais: (i) desigualdades de posto de matrizes e (ii) o produto .
Para isso vamos usar duas ideias principais: (i) desigualdades de posto de matrizes e (ii) o produto
Passo 2
Da igualdade
segue que
Mas em geral
, e também
. Assim
De modo análogo, da igualdade
obtemos
o que leva a
Combinando
e
concluímos que
Passo 3
Agora que sabemos
, todas as matrizes envolvidas são quadradas de ordem
. Considere o produto
Por um lado,
Por outro lado,
Logo
.