Sejam
e
sub-espaços de um espaço vetorial
tais que
. Seja
a aplicação de
em
e
a aplicação de
em
tais que para todo
de
(com
e
) associam, respectivamente,
e
. Mostre que
e
são aplicações lineares. Determine os núcleos de
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
que se decompõe como soma direta de dois subespaços
e
, isto é,
e cada vetor
pode ser escrito de modo único como
com
,
. Definimos duas aplicações
Precisamos mostrar que
e
são lineares e determinar
e
. O conteúdo aqui é projeção em somas diretas e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Mostrando que
é linear. Tome
e escalar
. Escrevendo
com
,
, temos
então, pela definição de
,
Também
logo
Isso prova que
preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.
Passo 3
Mostrando que
é linear. Usando as mesmas escritas
vemos que
e
Logo
também satisfaz a aditividade e homogeneidade, sendo linear.
Passo 4
Determinando
. Por definição
Se
, então
força
. Inversamente, qualquer
escreve-se como
e tem
. Portanto
Passo 5
Determinando
. Analogamente,
Se
e
, então
. E todo
satisfaz
. Logo