Sejam U e V sub-espaços de um espaço vetorial W tais que W=U oplus V. Seja P1 a aplicação de U em U e P2 a aplicação de V em V tais que para todo w=u+v de W (com u in U e v in V) associam, respectivamente, P1(w)=u e P2(w)=v. Mostre que P1 e P2 são aplicações lineares. Determine os núcleos de P1 e P2.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial W que se decompõe como soma direta de dois subespaços U e V, isto é,
W = U oplus V
e cada vetor win W pode ser escrito de modo único como w = u + v com uin U, vin V. Definimos duas aplicações
P1colon W to U, P1(w)=u,
P2colon W to V, P2(w)=v
Precisamos mostrar que P1 e P2 são lineares e determinar ker(P1) e ker(P2). O conteúdo aqui é projeção em somas diretas e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Mostrando que P1 é linear. Tome w1,w2in W e escalar alpha. Escrevendo
w1 = u1 + v1, w2 = u2 + v2,
com uiin U, viin V, temos
w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2),
então, pela definição de P1,
P1(w1 + w2) = u1 + u2 = P1(w1) + P1(w2)
Também
alpha w1 = (alpha u1) + (alpha v1),
logo
P1(alpha w1) = alpha u1 = alpha P1(w1)
Isso prova que P1 preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

Mostrando que P2 é linear. Usando as mesmas escritas
w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2),
vemos que
P2(w1 + w2) = v1 + v2 = P2(w1) + P2(w2),
e
P2(alpha w1) = alpha v1 = alpha P2(w1)
Logo P2 também satisfaz a aditividade e homogeneidade, sendo linear.

Passo 4

Determinando ker(P1). Por definição
ker(P1) = ,win W mid P1(w)=0in U
Se w = u + v, então P1(w)=u=0 força w = 0 + v = vin V. Inversamente, qualquer vin V escreve-se como 0+v e tem P1(0+v)=0. Portanto
ker(P1) = V

Passo 5

Determinando ker(P2). Analogamente,
ker(P2) = ,win W mid P2(w)=0in V
Se w = u + v e P2(w)=v=0, então w = uin U. E todo uin U satisfaz P2(u+0)=0. Logo
ker(P2) = U

Resposta

;P1 e P2 são lineares.
ker(P1) = V.
ker(P2) = U.

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