Seja A=[ccc1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3]. Calcule:
det(A^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada A e precisa calcular o determinante de A^2 , ou seja, det(A^2) . Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente trabalhando com determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber algumas propriedades dos determinantes e como calcular determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade legal dos determinantes: o determinante de uma matriz elevada a uma potência é igual ao determinante da matriz, tudo isso elevado ao mesmo número. Matematicamente, isso fica assim:
det(A^n) = (det A)^n
No nosso caso, como queremos det(A^2) , isso vira:
det(A^2) = (det A)^2
Então, basicamente, a gente precisa calcular det A e depois elevar o resultado ao quadrado.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A . A matriz dada é:
A = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão por co-fatores aqui para ficar mais claro.
A fórmula geral para o determinante de uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (0 cdot 3 - 2 cdot (-1)) - (-1) cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 2) + 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 2)
Simplificando cada parte:
det(A) = 1 cdot (0 + 2) - (-1) cdot (3 - 4) + 1 cdot (-1 - 0)
det(A) = 2 - (-1) cdot (-1) - 1
det(A) = 2 - 1 - 1 = 0
Então, det A = 0 .

Passo 4

Agora que sabemos que det A = 0 , vamos aplicar a propriedade que mencionamos no Passo 2:
det(A^2) = (det A)^2 = 0^2 = 0

Resposta

O determinante de A^2 é igual a 0 .

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