Seja A=[ccc1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3]. Calcule:
A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz A , que está no ramo da álgebra linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos como determinante, matriz de cofatores e a adjunta da matriz. Não se preocupa, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma matriz A ter inversa, o determinante dela ( det(A) ) precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .

Passo 3

A matriz A é:
A = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 0 cdot 3 + (-1) cdot 2 cdot 2 + 1 cdot 1 cdot (-1) - [1 cdot 0 cdot 2 + (-1) cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 1 cdot 3]
Vamos calcular cada termo:
1 cdot 0 cdot 3 = 0
(-1) cdot 2 cdot 2 = -4
1 cdot 1 cdot (-1) = -1
1 cdot 0 cdot 2 = 0
(-1) cdot 2 cdot 1 = -2
1 cdot 1 cdot 3 = 3
Agora substituímos:
det(A) = 0 - 4 - 1 - [0 - 2 + 3] = -5 - (1) = -6

Passo 5

Como o determinante det(A) = -6 é diferente de zero, a matriz A tem inversa. Agora vamos encontrar essa inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A .

Passo 6

Para encontrar a adjunta adj(A) , precisamos calcular a matriz de cofatores de A e então transpor essa matriz.

Passo 7

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de A . O cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor da matriz, ou seja, o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 8

Vamos calcular cada menor Mij :
  • Para C11 :
M11 = 0 & 2 -1 & 3 = (0)(3) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2
C11 = (-1)^1+1 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2
  • Para C12 :
M12 = 1 & 2 2 & 3 = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1
C12 = (-1)^1+2 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1
  • Para C13 :
M13 = 1 & 0 2 & -1 = (1)(-1) - (0)(2) = -1 - 0 = -1
C13 = (-1)^1+3 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1
  • Para C21 :
M21 = -1 & 1 -1 & 3 = (-1)(3) - (1)(-1) = -3 + 1 = -2
C21 = (-1)^2+1 cdot (-2) = -1 cdot (-2) = 2
  • Para C22 :
M22 = 1 & 1 2 & 3 = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
C22 = (-1)^2+2 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1
  • Para C23 :
M23 = 1 & -1 2 & -1 = (1)(-1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1
C23 = (-1)^2+3 cdot 1 = -1 cdot 1 = -1
  • Para C31 :
M31 = -1 & 1 0 & 2 = (-1)(2) - (1)(0) = -2 - 0 = -2
C31 = (-1)^3+1 cdot (-2) = 1 cdot (-2) = -2
  • Para C32 :
M32 = 1 & 1 1 & 2 = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
C32 = (-1)^3+2 cdot 1 = -1 cdot 1 = -1
  • Para C33 :
M33 = 1 & -1 1 & 0 = (1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
C33 = (-1)^3+3 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1

Passo 9

Agora, montamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = 2 & 1 & -1 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1

Passo 10

A próxima etapa é transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta adj(A) :
adj(A) = 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 11

Agora, usamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-6 cdot 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1
Isso significa que cada elemento da adjunta será dividido por -6.

Passo 12

Fazendo a divisão:
A^-1 = 2-6 & 2-6 & -2-6 1-6 & 1-6 & -1-6 -1-6 & -1-6 & 1-6
Simplificando as frações:
A^-1 = -13 & -13 & 13 -16 & -16 & 16 16 & 16 & -16

Resposta

A^-1 = -dfrac13 & -dfrac13 & dfrac13 -dfrac16 & -dfrac16 & dfrac16 dfrac16 & dfrac16 & -dfrac16

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