Seja . Calcule A^n, n in N. Determine uma raiz quadrada de A, se existir. (Sugestão: Lembre que se M e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, com M inversível, vale (M^-1 B M)^n=M^-1 B^n M para todo n in N.)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 2 & 4 3 &13
e pede (a) uma expressão para A^n, ninN, e (b) uma matriz B tal que B^2=A, caso exista.
Conteúdo principal: diagonalização de matrizes (autovalores, autovetores) e uso do fato
(M^-1BM)^n ;=; M^-1B^nM
Passo 2
Calcular os autovalores de A via o polinômio característico
Para obter uma raiz quadrada, note que D=diag(1,14) tem raiz quadrada raiz D=diag(1,raiz14). Como A é diagonalizável e ambos autovalores são positivos, definimos
B = Mraiz D,M^-1 = M1&00&raiz14M^-1,
e então B^2 = M(raiz D)^2M^-1=M D M^-1=A.
Passo 7
Fazendo a multiplicação explícita, uma escolha para B é