Seja A=[cc2 & 4 3 & 13]. Calcule A^n, n in N. Determine uma raiz quadrada de A, se existir. (Sugestão: Lembre que se M e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, com M inversível, vale (M^-1 B M)^n=M^-1 B^n M para todo n in N.)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 4 3 &13
e pede (a) uma expressão para A^n, ninN, e (b) uma matriz B tal que B^2=A, caso exista.
Conteúdo principal: diagonalização de matrizes (autovalores, autovetores) e uso do fato
(M^-1BM)^n ;=; M^-1B^nM

Passo 2

Calcular os autovalores de A via o polinômio característico
det(A-lambda I) ;=;det2-lambda &43&13-lambda =lambda^2-15lambda+14=0
As raízes são
lambda1=1, lambda2=14,
que são distintas, logo A é diagonalizável em R.

Passo 3

Encontrar os autovetores. Para lambda1=1, resolvemos
(A-I)v=0;Longrightarrow; 1&43&12v=0
daí v^(1)=(-4,1)^T.
Para lambda2=14, temos
(A-14I)v=0;Longrightarrow; -12&43&-1v=0
daí v^(2)=(1,3)^T.
Formamos
M=-4&11&3,
cujo determinante é det M=-13, e
M^-1=1-133&-1-1&-4 =-tfrac313&tfrac113[6pt]tfrac113&tfrac413
Então
M^-1AM=1&00&14=D
]

Passo 4

Usando A=M D M^-1 e o fato de que D^n=diag(1^n,14^n), temos
A^n = M D^n M^-1 = M1&00&14^nM^-1

Passo 5

Multiplicando os fatores, chega-se a
A^n =113 12 +14^n & 4,(14^n -1)[4pt] 3,(14^n -1) & 1 +12,14^n
É fácil checar que, para n=1, recupera-se A.
]

Passo 6

Para obter uma raiz quadrada, note que D=diag(1,14) tem raiz quadrada
raiz D=diag(1,raiz14). Como A é diagonalizável e ambos autovalores são positivos, definimos
B = Mraiz D,M^-1 = M1&00&raiz14M^-1,
e então B^2 = M(raiz D)^2M^-1=M D M^-1=A.

Passo 7

Fazendo a multiplicação explícita, uma escolha para B é
B =113 12 +raiz14 & 4,(raiz14-1)[4pt] 3,(raiz14-1) & 1 +12,raiz14 ,
que satisfaz B^2=A.
]

Resposta

A^n=dfrac113 12 +14^n & 4,(14^n -1) 3,(14^n -1) & 1 +12,14^n ,
uma raiz quadrada é
B=113 12 +raiz14 & 4,(raiz14-1) 3,(raiz14-1) & 1 +12,raiz14

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