Seja T: R^2 R^2 o operador linear com autovetores v1=(1,-1) e v2=(1,1) correspondendo respectivamente aos autovalores lambda1=12 e lambda2=2. Seja v=(5,1). Calcule T^10(v).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um operador linear T:R^2toR^2 com autovetores v1=(1,-1) e v2=(1,1) e autovalores lambda1=tfrac12, lambda2=2. Precisamos achar T^10(v) para v=(5,1). A ideia é expressar v na base formada por v1,v2 e usar que T^k(vi)=lambdai^k,vi.

Passo 2

Vamos escrever v como combinação linear dos autovetores: suponha
v = a,v1 + b,v2 = a(1,-1) + b(1,1) = (a+b,,-a+b)
Como queremos (a+b,,-a+b)=(5,1), formamos o sistema para a e b.

Passo 3

O sistema é
a + b = 5, -,a + b = 1
Somando as equações obtemos 2b=6, logo b=3. Substituindo em a+b=5 a=2.

Passo 4

Agora aplicamos T^10 em v. Como T^10(vi)=lambdai^10vi, temos
T^10(v)= a,lambda1^10v1 ;+; b,lambda2^10v2
Aqui lambda1^10=(tfrac12)^10=tfrac11024 e lambda2^10=2^10=1024.

Passo 5

Substituindo a=2 e b=3 e calculando os produtos:
T^10(v) =2cdottfrac11024(1,-1) + 3cdot1024,(1,1) =(tfrac21024,,-tfrac21024) + (3072,3072) =(tfrac1512,,-tfrac1512) + (3072,3072)
Somando coordenada a coordenada:
T^10(v)=l(3072+tfrac1512,;3072-tfrac1512r)

Resposta

T^10(v)=l(3072+tfrac1512,;3072-tfrac1512r)

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