Seja o operador linear com autovetores e correspondendo respectivamente aos autovalores e . Seja . Calcule .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um operador linear com autovetores e e autovalores , . Precisamos achar para . A ideia é expressar na base formada por e usar que .
Passo 2
Vamos escrever como combinação linear dos autovetores: suponha
Como queremos , formamos o sistema para e .
Passo 3
O sistema é
Somando as equações obtemos 2b=6, logo b=3. Substituindo em a+b=5 dá a=2.
Passo 4
Agora aplicamos T^10 em v. Como T^10(vi)=lambdai^10vi, temos
T^10(v)= a,lambda1^10v1 ;+; b,lambda2^10v2
Aqui lambda1^10=(tfrac12)^10=tfrac11024 e lambda2^10=2^10=1024.