Verifique que a matriz
é semelhante à matriz
[cccc10 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0] .
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a matriz
é semelhante à matriz
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro determinamos os autovalores de
A . Note que
com
Matrizes de posto 1 têm exatamente um autovalor não nulo, que é
v^T u , e os demais são zero. Aqui
logo os autovalores de
A são
lambda1 = 10 e
lambda2 = lambda3 = lambda4 = 0 .
Passo 3
Agora encontramos um autovetor correspondente a
lambda1 = 10 . De fato,
logo
u = (1,2,3,4)^T é autovetor de
A associado a
lambda1 . A multiplicidade geométrica deste autovalor é 1, pois o núcleo de
(A - 10I) é
spanu .
Passo 4
Em seguida caracterizamos o espaço próprio de
lambda = 0 . Temos
Portanto o espaço próprio de autovalor zero é o hiperplano
xin R^4 mid x1 + x2 + x3 + x4 = 0 , de dimensão 3. Uma base conveniente é formada pelos vetores
todos satisfazendo
wi1 + wi2 + wi3 + wi4 = 0 .
Passo 5
Reunindo os autovetores
u,w1,w2,w3 , temos 4 vetores linearmente independentes que diagonalizam
A . Se formos escolher
então
P é invertível e
Isto mostra que
A é semelhante a
D .
Resposta
A matriz
é semelhante à matriz