Verifique que a matriz [cccc1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3 & 3 4 & 4 & 4 & 4] é semelhante à matriz [cccc10 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3 & 3 4 & 4 & 4 & 4
é semelhante à matriz
D = 10 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro determinamos os autovalores de A. Note que
A = u,v^T
com
u = 1234, v = 1111
Matrizes de posto 1 têm exatamente um autovalor não nulo, que é v^T u, e os demais são zero. Aqui
v^T u = 1cdot1 + 1cdot2 + 1cdot3 + 1cdot4 = 10,
logo os autovalores de A são
lambda1 = 10 e lambda2 = lambda3 = lambda4 = 0.

Passo 3

Agora encontramos um autovetor correspondente a lambda1 = 10. De fato,
A,u = (u,v^T),u = u,(v^T u) = ucdot10 = 10,u,
logo u = (1,2,3,4)^T é autovetor de A associado a lambda1. A multiplicidade geométrica deste autovalor é 1, pois o núcleo de (A - 10I) é spanu.

Passo 4

Em seguida caracterizamos o espaço próprio de lambda = 0. Temos
A,x = 0 Long<=ftrightarrow u,(v^T x) = 0 Long<=ftrightarrow v^T x = 0
Portanto o espaço próprio de autovalor zero é o hiperplano
xin R^4 mid x1 + x2 + x3 + x4 = 0, de dimensão 3. Uma base conveniente é formada pelos vetores
w1 = 1-100, w2 = 01-10, w3 = 001-1,
todos satisfazendo wi1 + wi2 + wi3 + wi4 = 0.

Passo 5

Reunindo os autovetores u,w1,w2,w3, temos 4 vetores linearmente independentes que diagonalizam A. Se formos escolher
P = l[u;;w1;;w2;;w3r],
então P é invertível e
P^-1 A P = 10 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 = D
Isto mostra que A é semelhante a D.

Resposta

A matriz
1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3 & 3 4 & 4 & 4 & 4
é semelhante à matriz
10 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

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